Limite Trigonometrico C100

En términos generales los límites trigonométricos se pueden resolver aplicando un limite notable o una identidad trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un numero, factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites.

Algo de Historia.
Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.[1] Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.[2] La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860[3] y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.
La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.[2]

Limite Trigonometrico C107

En términos generales los límites trigonométricos se pueden resolver aplicando un limite notable o una identidad trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un numero, factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites.

Algo de Historia.
Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.[1] Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.[2] La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860[3] y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.
La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.[2]

Limite Trigonometrico C106

En términos generales los límites trigonométricos se pueden resolver aplicando un limite notable o una identidad trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un numero, factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites.

Algo de Historia.
Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.[1] Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.[2] La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860[3] y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.
La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.[2]

Limite Trigonometrico C105

En términos generales los límites trigonométricos se pueden resolver aplicando un limite notable o una identidad trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un numero, factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites.

Algo de Historia.
Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.[1] Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.[2] La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860[3] y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.
La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.[2]

Limite Trigonometrico C104

En términos generales los límites trigonométricos se pueden resolver aplicando un limite notable o una identidad trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un numero, factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites.
 

Algo de Historia.
Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.[1] Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.[2] La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860[3] y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.
La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.[2]

sistema de inecuaciones - situaciones algebraicas 102

Problema tomado en el examen de ingreso a la Universidad Nacional Mayor de San Marcos UNMSM 2012-II.



Un sistema de inecuaciones es un grupo de dos o más inecuaciones. El conjunto solución del sistema es el conjunto de todas las soluciones comunes a todas las inecuaciones del sistema.

En un sistema de inecuaciones intervienen dos o más inecuaciones. No todos los sistemas de inecuaciones tienen solución.

Es un conjunto de inecuaciones de primer grado con la misma variable:

La solución del sistema será el conjunto de números reales que verifican a la vez todas las inecuaciones.

proporcionalidad y numero factorial - situaciones aritmeticas 203

Problema tomado en el examen de ingreso a la Universidad Nacional Mayor de San Marcos UNMSM 2012-II.

El factorial de un número.
La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental, el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos. Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, en el s. XII por los estudiosos indios. La notación actual n! fue usada por primera vez por Christian Kramp en 1803.

La definición de la función factorial también se puede extender a números no naturales manteniendo sus propiedades fundamentales, pero se requieren matemáticas avanzadas, particularmente del análisis matemático

Varios científicos trabajaron sobre este asunto, pero los principales inventores fueron J. Stirling en 1730, que proporciona la fórmula asintótica tras colaborar con De Moivre, luego Euler en 1751 y finalmente C. Kramp y Arbogast, que introduce entre 1808 y 1816 la notación actual n!. Por supuesto otros científicos como Taylor también trabajaron bastante con esta notación.

situaciones algebraicas 103 - logaritmos

Problema tomado en el examen de ingreso a la Universidad Nacional Mayor de San Marcos UNMSM 2012-II.

Los logaritmos.

La primera mención del logaritmo natural fue dada por Nikolaus Mercator en su trabajo Logarithmotechnia publicado en 1668,1 a pesar de que el profesor de matemáticas John Speidell ya lo había hecho en 1619 recopilando una tabla sobre valores del logaritmo natural.3 Fue llamado formalmente como logaritmo hiperbólico,4 puesto que sus valores correspondían con los del área hallada bajo la hipérbola. A veces también se refiere al logaritmo neperiano, a pesar de que el significado original de este término es ligeramente diferente.

A partir del siglo XVI, los cálculos que se precisaban hacer, debido principalmente a la expansión comercial y al perfeccionamiento de las técnicas de navegación, eran de tal magnitud que surgía la necesidad de encontrar algoritmos menos laboriosos que los utilizados hasta entonces, es decir, algoritmos de la multiplicación, de la división, etc.

El descubrimiento de los logaritmos no se produjo aisladamente, por un único proceso. Dos caminos condujeron a su hallazgo: los cálculos trigonométricos para las investigaciones astronómicas aplicables a la navegación, y el cálculo de las riquezas acumuladas en lo que se refiere a las reglas de interés compuesto. Ambos caminos inspiraron respectivamente a John Napier y a Jobst Bürgi en el descubrimiento de los logaritmos.

Henry Briggs, quien fue el primero que hizo las tablas logarítmicas en base 10, en el año 1631, en su obra Logarithmall Arithmetike, explica el objetivo de la invención de los logaritmos: "Los logaritmos son números inventados para resolver más fácilmente los problemas de aritmética y geometría... Con ellos se evitan todas las molestias de las multiplicaciones y de las divisiones; de manera que, en lugar de multiplicaciones, se hacen solamente adiciones, y en lugar de divisiones se hacen sustracciones. La laboriosa operación de extraer raíces, tan poco grata, se efectúa con suma facilidad... En una palabra, con los logaritmos se resuelven con la mayor sencillez y comodidad todos los problemas,no sólo de aritmética y geometría, sino también de astronomía."

situaciones algebraicas 205 - logaritmos y sucesiones

Problema tomado en el examen de ingreso a la Universidad Nacional Mayor de San Marcos UNMSM 2012-II.

Los logaritmos.

La primera mención del logaritmo natural fue dada por Nikolaus Mercator en su trabajo Logarithmotechnia publicado en 1668,1 a pesar de que el profesor de matemáticas John Speidell ya lo había hecho en 1619 recopilando una tabla sobre valores del logaritmo natural.3 Fue llamado formalmente como logaritmo hiperbólico,4 puesto que sus valores correspondían con los del área hallada bajo la hipérbola. A veces también se refiere al logaritmo neperiano, a pesar de que el significado original de este término es ligeramente diferente.

A partir del siglo XVI, los cálculos que se precisaban hacer, debido principalmente a la expansión comercial y al perfeccionamiento de las técnicas de navegación, eran de tal magnitud que surgía la necesidad de encontrar algoritmos menos laboriosos que los utilizados hasta entonces, es decir, algoritmos de la multiplicación, de la división, etc.

El descubrimiento de los logaritmos no se produjo aisladamente, por un único proceso. Dos caminos condujeron a su hallazgo: los cálculos trigonométricos para las investigaciones astronómicas aplicables a la navegación, y el cálculo de las riquezas acumuladas en lo que se refiere a las reglas de interés compuesto. Ambos caminos inspiraron respectivamente a John Napier y a Jobst Bürgi en el descubrimiento de los logaritmos.

Henry Briggs, quien fue el primero que hizo las tablas logarítmicas en base 10, en el año 1631, en su obra Logarithmall Arithmetike, explica el objetivo de la invención de los logaritmos: "Los logaritmos son números inventados para resolver más fácilmente los problemas de aritmética y geometría... Con ellos se evitan todas las molestias de las multiplicaciones y de las divisiones; de manera que, en lugar de multiplicaciones, se hacen solamente adiciones, y en lugar de divisiones se hacen sustracciones. La laboriosa operación de extraer raíces, tan poco grata, se efectúa con suma facilidad... En una palabra, con los logaritmos se resuelven con la mayor sencillez y comodidad todos los problemas,no sólo de aritmética y geometría, sino también de astronomía."

Limite Trigonometrico C103

Historia de los Límites.

Wallis (1616-1703) introduce el concepto de límite y el símbolo para el infinito. Newton y Leibniz ignoraban una definición precisa de límite y de los conceptos que éste lleva asociado y sin embargo no fue ningún impedimento grave para inventar el cálculo. Tenían una idea intuitiva de los límites. Los conocimientos de los límites fueron asentados en el siglo XIX por Cauchy, Dedekind y Weierstrass.

La famosa curva descubierta en 1906 por Helge von Koch y que originó los fractales fue un proceso al límite de un triángulo equilátero y en cada lado un nuevo triángulo. 

Importancia de los límites matemáticos.
Los límites son importantes por que nos ayudan a resolver eficazmente los problemas que se nos presentan en un ejercicio de un tema determinado. Cada límite no puede dar una solución diferente, por ejemplo en un ejercicio que resolvamos podríamos conseguir con que podría ser una función indeterminada, la cual es cuando el resultado obtenido es igual a cero sobre cero 0/0. Como también podemos encontrar funciones que si tengan soluciones o funciones determinadas, es decir nos ayuda a encontrarle alguna solución posible a una función.

Limite Trigonometrico C01

Historia de los Límites.

Wallis (1616-1703) introduce el concepto de límite y el símbolo para el infinito. Newton y Leibniz ignoraban una definición precisa de límite y de los conceptos que éste lleva asociado y sin embargo no fue ningún impedimento grave para inventar el cálculo. Tenían una idea intuitiva de los límites. Los conocimientos de los límites fueron asentados en el siglo XIX por Cauchy, Dedekind y Weierstrass.

La famosa curva descubierta en 1906 por Helge von Koch y que originó los fractales fue un proceso al límite de un triángulo equilátero y en cada lado un nuevo triángulo. 

Importancia de los límites matemáticos.
Los límites son importantes por que nos ayudan a resolver eficazmente los problemas que se nos presentan en un ejercicio de un tema determinado. Cada límite no puede dar una solución diferente, por ejemplo en un ejercicio que resolvamos podríamos conseguir con que podría ser una función indeterminada, la cual es cuando el resultado obtenido es igual a cero sobre cero 0/0. Como también podemos encontrar funciones que si tengan soluciones o funciones determinadas, es decir nos ayuda a encontrarle alguna solución posible a una función.

Limite Trigonometrico C102

Historia de los Límites.

Wallis (1616-1703) introduce el concepto de límite y el símbolo para el infinito. Newton y Leibniz ignoraban una definición precisa de límite y de los conceptos que éste lleva asociado y sin embargo no fue ningún impedimento grave para inventar el cálculo. Tenían una idea intuitiva de los límites. Los conocimientos de los límites fueron asentados en el siglo XIX por Cauchy, Dedekind y Weierstrass.

La famosa curva descubierta en 1906 por Helge von Koch y que originó los fractales fue un proceso al límite de un triángulo equilátero y en cada lado un nuevo triángulo. 

Importancia de los límites matemáticos.
Los límites son importantes por que nos ayudan a resolver eficazmente los problemas que se nos presentan en un ejercicio de un tema determinado. Cada límite no puede dar una solución diferente, por ejemplo en un ejercicio que resolvamos podríamos conseguir con que podría ser una función indeterminada, la cual es cuando el resultado obtenido es igual a cero sobre cero 0/0. Como también podemos encontrar funciones que si tengan soluciones o funciones determinadas, es decir nos ayuda a encontrarle alguna solución posible a una función.

Simplificar Radicales 10

Historia de la raíces.

El descubrimiento de raíz cuadrada como un número irracional se atribuye generalmente al pitagórico Hippasus de Metapontum, quien fue el primero en producir la demostración (vía demostración geométrica) de la irracionalidad. La historia narra que precisamente descubrió la irracionalidad de la raíz de 2 cuando intentaba averiguar una expresión racional del mismo. Sin embargo Pitágoras creía en la definición absoluta de los números como media, y esto le obligaba a no creer en la existencia de los números irracionales. Por esta razón estuvo ya desde el principio en contra de esa demostración, por esta razón fue sentenciado a la pena capital por sus compañeros pitagóricos.

Los babilonios encontraron para √2  la aproximación 1.414213  con un algoritmo usado por Herón de Alejandría en su Métrica y que usaban ya los babilonios desde el año 1900  a.C. También lo usarían los Indios cerca del año 700 A.C. Según este algoritmo iterativo, se parte de un racional semilla r(1) entre √a y √(a+1), y para las siguientes aproximaciones r(n+1) se toma la media aritmética de r(n) y el racional a/r(n), siendo a el natural no cuadrado cuya raíz cuadrada quiere calcularse, es decir:

r(n+1) = [r(n) + a/r(n)]/2.

Leonardo de Pisa, Fibonacci, nombre con el que pasará a la Historia, aprovechó sus viajes

comerciales por todo el mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia, Grecia..., en uno de estos viajes  pudo entablar contacto y discutir con los matemáticos más notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los Elementos de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor. De su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de aritmética y álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes un potente sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace, en 1202, el Liber abaci, la primera gran obra matemática de la Edad Media. En él aparecen por primera vez en Occidente, los nueve cifras hindúes y el signo del cero. Leonardo de Pisa brinda en su obra reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones, pero también proporciona la regla de tres simple y compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado.

References: Babylonian Square Roots
Nelson, D., Joseph, G. and Williams, J. (1993). Multicultural Mathematics: Teaching Mathematics from a Global Perspective. New York: Oxford University Press.


Educación secundaria, enseñanza media, segundo ciclo de la educación general, Educación Secundaria Obligatoria (E.S.O), "escuela secundaria", "escuela preparatoria", high schools.

Simplificar Radicales 08

Historia de la raíces.

El descubrimiento de raíz cuadrada como un número irracional se atribuye generalmente al pitagórico Hippasus de Metapontum, quien fue el primero en producir la demostración (vía demostración geométrica) de la irracionalidad. La historia narra que precisamente descubrió la irracionalidad de la raíz de 2 cuando intentaba averiguar una expresión racional del mismo. Sin embargo Pitágoras creía en la definición absoluta de los números como media, y esto le obligaba a no creer en la existencia de los números irracionales. Por esta razón estuvo ya desde el principio en contra de esa demostración, por esta razón fue sentenciado a la pena capital por sus compañeros pitagóricos.

Los babilonios encontraron para √2  la aproximación 1.414213  con un algoritmo usado por Herón de Alejandría en su Métrica y que usaban ya los babilonios desde el año 1900  a.C. También lo usarían los Indios cerca del año 700 A.C. Según este algoritmo iterativo, se parte de un racional semilla r(1) entre √a y √(a+1), y para las siguientes aproximaciones r(n+1) se toma la media aritmética de r(n) y el racional a/r(n), siendo a el natural no cuadrado cuya raíz cuadrada quiere calcularse, es decir:

r(n+1) = [r(n) + a/r(n)]/2.

Leonardo de Pisa, Fibonacci, nombre con el que pasará a la Historia, aprovechó sus viajes

comerciales por todo el mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia, Grecia..., en uno de estos viajes  pudo entablar contacto y discutir con los matemáticos más notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los Elementos de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor. De su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de aritmética y álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes un potente sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace, en 1202, el Liber abaci, la primera gran obra matemática de la Edad Media. En él aparecen por primera vez en Occidente, los nueve cifras hindúes y el signo del cero. Leonardo de Pisa brinda en su obra reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones, pero también proporciona la regla de tres simple y compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado.

References: Babylonian Square Roots
Nelson, D., Joseph, G. and Williams, J. (1993). Multicultural Mathematics: Teaching Mathematics from a Global Perspective. New York: Oxford University Press.


Educación secundaria, enseñanza media, segundo ciclo de la educación general, Educación Secundaria Obligatoria (E.S.O), "escuela secundaria", "escuela preparatoria", high schools.

Simplifcar Radicales 07

Historia de la raíces.

El descubrimiento de raíz cuadrada como un número irracional se atribuye generalmente al pitagórico Hippasus de Metapontum, quien fue el primero en producir la demostración (vía demostración geométrica) de la irracionalidad. La historia narra que precisamente descubrió la irracionalidad de la raíz de 2 cuando intentaba averiguar una expresión racional del mismo. Sin embargo Pitágoras creía en la definición absoluta de los números como media, y esto le obligaba a no creer en la existencia de los números irracionales. Por esta razón estuvo ya desde el principio en contra de esa demostración, por esta razón fue sentenciado a la pena capital por sus compañeros pitagóricos.

Los babilonios encontraron para √2  la aproximación 1.414213  con un algoritmo usado por Herón de Alejandría en su Métrica y que usaban ya los babilonios desde el año 1900  a.C. También lo usarían los Indios cerca del año 700 A.C. Según este algoritmo iterativo, se parte de un racional semilla r(1) entre √a y √(a+1), y para las siguientes aproximaciones r(n+1) se toma la media aritmética de r(n) y el racional a/r(n), siendo a el natural no cuadrado cuya raíz cuadrada quiere calcularse, es decir:

r(n+1) = [r(n) + a/r(n)]/2.

Leonardo de Pisa, Fibonacci, nombre con el que pasará a la Historia, aprovechó sus viajes

comerciales por todo el mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia, Grecia..., en uno de estos viajes  pudo entablar contacto y discutir con los matemáticos más notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los Elementos de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor. De su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de aritmética y álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes un potente sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace, en 1202, el Liber abaci, la primera gran obra matemática de la Edad Media. En él aparecen por primera vez en Occidente, los nueve cifras hindúes y el signo del cero. Leonardo de Pisa brinda en su obra reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones, pero también proporciona la regla de tres simple y compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado.

References: Babylonian Square Roots
Nelson, D., Joseph, G. and Williams, J. (1993). Multicultural Mathematics: Teaching Mathematics from a Global Perspective. New York: Oxford University Press.


Educación secundaria, enseñanza media, segundo ciclo de la educación general, Educación Secundaria Obligatoria (E.S.O), "escuela secundaria", "escuela preparatoria", high schools.

Simplificar Radicales 06

Historia de la raíces.

El descubrimiento de raíz cuadrada como un número irracional se atribuye generalmente al pitagórico Hippasus de Metapontum, quien fue el primero en producir la demostración (vía demostración geométrica) de la irracionalidad. La historia narra que precisamente descubrió la irracionalidad de la raíz de 2 cuando intentaba averiguar una expresión racional del mismo. Sin embargo Pitágoras creía en la definición absoluta de los números como media, y esto le obligaba a no creer en la existencia de los números irracionales. Por esta razón estuvo ya desde el principio en contra de esa demostración, por esta razón fue sentenciado a la pena capital por sus compañeros pitagóricos.

Los babilonios encontraron para √2  la aproximación 1.414213  con un algoritmo usado por Herón de Alejandría en su Métrica y que usaban ya los babilonios desde el año 1900  a.C. También lo usarían los Indios cerca del año 700 A.C. Según este algoritmo iterativo, se parte de un racional semilla r(1) entre √a y √(a+1), y para las siguientes aproximaciones r(n+1) se toma la media aritmética de r(n) y el racional a/r(n), siendo a el natural no cuadrado cuya raíz cuadrada quiere calcularse, es decir:

r(n+1) = [r(n) + a/r(n)]/2.

Leonardo de Pisa, Fibonacci, nombre con el que pasará a la Historia, aprovechó sus viajes

comerciales por todo el mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia, Grecia..., en uno de estos viajes  pudo entablar contacto y discutir con los matemáticos más notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los Elementos de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor. De su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de aritmética y álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes un potente sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace, en 1202, el Liber abaci, la primera gran obra matemática de la Edad Media. En él aparecen por primera vez en Occidente, los nueve cifras hindúes y el signo del cero. Leonardo de Pisa brinda en su obra reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones, pero también proporciona la regla de tres simple y compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado.

References: Babylonian Square Roots
Nelson, D., Joseph, G. and Williams, J. (1993). Multicultural Mathematics: Teaching Mathematics from a Global Perspective. New York: Oxford University Press.


Educación secundaria, enseñanza media, segundo ciclo de la educación general, Educación Secundaria Obligatoria (E.S.O), "escuela secundaria", "escuela preparatoria", high schools.

Simplificar Radicales 05

Historia de la raíces.

El descubrimiento de raíz cuadrada como un número irracional se atribuye generalmente al pitagórico Hippasus de Metapontum, quien fue el primero en producir la demostración (vía demostración geométrica) de la irracionalidad. La historia narra que precisamente descubrió la irracionalidad de la raíz de 2 cuando intentaba averiguar una expresión racional del mismo. Sin embargo Pitágoras creía en la definición absoluta de los números como media, y esto le obligaba a no creer en la existencia de los números irracionales. Por esta razón estuvo ya desde el principio en contra de esa demostración, por esta razón fue sentenciado a la pena capital por sus compañeros pitagóricos.

Los babilonios encontraron para √2  la aproximación 1.414213  con un algoritmo usado por Herón de Alejandría en su Métrica y que usaban ya los babilonios desde el año 1900  a.C. También lo usarían los Indios cerca del año 700 A.C. Según este algoritmo iterativo, se parte de un racional semilla r(1) entre √a y √(a+1), y para las siguientes aproximaciones r(n+1) se toma la media aritmética de r(n) y el racional a/r(n), siendo a el natural no cuadrado cuya raíz cuadrada quiere calcularse, es decir:

r(n+1) = [r(n) + a/r(n)]/2.

Leonardo de Pisa, Fibonacci, nombre con el que pasará a la Historia, aprovechó sus viajes

comerciales por todo el mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia, Grecia..., en uno de estos viajes  pudo entablar contacto y discutir con los matemáticos más notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los Elementos de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor. De su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de aritmética y álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes un potente sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace, en 1202, el Liber abaci, la primera gran obra matemática de la Edad Media. En él aparecen por primera vez en Occidente, los nueve cifras hindúes y el signo del cero. Leonardo de Pisa brinda en su obra reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones, pero también proporciona la regla de tres simple y compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado.

References: Babylonian Square Roots
Nelson, D., Joseph, G. and Williams, J. (1993). Multicultural Mathematics: Teaching Mathematics from a Global Perspective. New York: Oxford University Press.


Educación secundaria, enseñanza media, segundo ciclo de la educación general, Educación Secundaria Obligatoria (E.S.O), "escuela secundaria", "escuela preparatoria", high schools.

Simplificar Radicales 04

Historia de la raíces.

El descubrimiento de raíz cuadrada como un número irracional se atribuye generalmente al pitagórico Hippasus de Metapontum, quien fue el primero en producir la demostración (vía demostración geométrica) de la irracionalidad. La historia narra que precisamente descubrió la irracionalidad de la raíz de 2 cuando intentaba averiguar una expresión racional del mismo. Sin embargo Pitágoras creía en la definición absoluta de los números como media, y esto le obligaba a no creer en la existencia de los números irracionales. Por esta razón estuvo ya desde el principio en contra de esa demostración, por esta razón fue sentenciado a la pena capital por sus compañeros pitagóricos.

Los babilonios encontraron para √2  la aproximación 1.414213  con un algoritmo usado por Herón de Alejandría en su Métrica y que usaban ya los babilonios desde el año 1900  a.C. También lo usarían los Indios cerca del año 700 A.C. Según este algoritmo iterativo, se parte de un racional semilla r(1) entre √a y √(a+1), y para las siguientes aproximaciones r(n+1) se toma la media aritmética de r(n) y el racional a/r(n), siendo a el natural no cuadrado cuya raíz cuadrada quiere calcularse, es decir:

r(n+1) = [r(n) + a/r(n)]/2.

Leonardo de Pisa, Fibonacci, nombre con el que pasará a la Historia, aprovechó sus viajes

comerciales por todo el mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia, Grecia..., en uno de estos viajes  pudo entablar contacto y discutir con los matemáticos más notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los Elementos de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor. De su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de aritmética y álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes un potente sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace, en 1202, el Liber abaci, la primera gran obra matemática de la Edad Media. En él aparecen por primera vez en Occidente, los nueve cifras hindúes y el signo del cero. Leonardo de Pisa brinda en su obra reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones, pero también proporciona la regla de tres simple y compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado.

References: Babylonian Square Roots
Joseph, George Gheverghese. (1991). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. London: Penguin Books.
Nelson, D., Joseph, G. and Williams, J. (1993). Multicultural Mathematics: Teaching Mathematics from a Global Perspective. New York: Oxford University Press.

Educación secundaria, enseñanza media, segundo ciclo de la educación general, Educación Secundaria Obligatoria (E.S.O), "escuela secundaria", "escuela preparatoria", high schools.

Simplificar Radicales 03

Historia de la raíces.

El descubrimiento de raíz cuadrada como un número irracional se atribuye generalmente al pitagórico Hippasus de Metapontum, quien fue el primero en producir la demostración (vía demostración geométrica) de la irracionalidad. La historia narra que precisamente descubrió la irracionalidad de la raíz de 2 cuando intentaba averiguar una expresión racional del mismo. Sin embargo Pitágoras creía en la definición absoluta de los números como media, y esto le obligaba a no creer en la existencia de los números irracionales. Por esta razón estuvo ya desde el principio en contra de esa demostración, por esta razón fue sentenciado a la pena capital por sus compañeros pitagóricos.

Los babilonios encontraron para √2  la aproximación 1.414213  con un algoritmo usado por Herón de Alejandría en su Métrica y que usaban ya los babilonios desde el año 1900  a.C. También lo usarían los Indios cerca del año 700 A.C. Según este algoritmo iterativo, se parte de un racional semilla r(1) entre √a y √(a+1), y para las siguientes aproximaciones r(n+1) se toma la media aritmética de r(n) y el racional a/r(n), siendo a el natural no cuadrado cuya raíz cuadrada quiere calcularse, es decir:

r(n+1) = [r(n) + a/r(n)]/2.

Leonardo de Pisa, Fibonacci, nombre con el que pasará a la Historia, aprovechó sus viajes

comerciales por todo el mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia, Grecia..., en uno de estos viajes  pudo entablar contacto y discutir con los matemáticos más notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los Elementos de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor. De su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de aritmética y álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes un potente sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace, en 1202, el Liber abaci, la primera gran obra matemática de la Edad Media. En él aparecen por primera vez en Occidente, los nueve cifras hindúes y el signo del cero. Leonardo de Pisa brinda en su obra reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones, pero también proporciona la regla de tres simple y compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado.

References: Babylonian Square Roots

Joseph, George Gheverghese. (1991). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. London: Penguin Books.
Nelson, D., Joseph, G. and Williams, J. (1993). Multicultural Mathematics: Teaching Mathematics from a Global Perspective. New York: Oxford University Press.

Educación secundaria, enseñanza media, segundo ciclo de la educación general, Educación Secundaria Obligatoria (E.S.O), "escuela secundaria", "escuela preparatoria", high schools.

Simplificar Radicales 02

Historia de la raíces.

El descubrimiento de raíz cuadrada como un número irracional se atribuye generalmente al pitagórico Hippasus de Metapontum, quien fue el primero en producir la demostración (vía demostración geométrica) de la irracionalidad. La historia narra que precisamente descubrió la irracionalidad de la raíz de 2 cuando intentaba averiguar una expresión racional del mismo. Sin embargo Pitágoras creía en la definición absoluta de los números como media, y esto le obligaba a no creer en la existencia de los números irracionales. Por esta razón estuvo ya desde el principio en contra de esa demostración, por esta razón fue sentenciado a la pena capital por sus compañeros pitagóricos.

Los babilonios encontraron para √2  la aproximación 1.414213  con un algoritmo usado por Herón de Alejandría en su Métrica y que usaban ya los babilonios desde el año 1900  a.C. También lo usarían los Indios cerca del año 700 A.C. Según este algoritmo iterativo, se parte de un racional semilla r(1) entre √a y √(a+1), y para las siguientes aproximaciones r(n+1) se toma la media aritmética de r(n) y el racional a/r(n), siendo a el natural no cuadrado cuya raíz cuadrada quiere calcularse, es decir:

r(n+1) = [r(n) + a/r(n)]/2.

Leonardo de Pisa, Fibonacci, nombre con el que pasará a la Historia, aprovechó sus viajes

comerciales por todo el mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia, Grecia..., en uno de estos viajes  pudo entablar contacto y discutir con los matemáticos más notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los Elementos de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor. De su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de aritmética y álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes un potente sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace, en 1202, el Liber abaci, la primera gran obra matemática de la Edad Media. En él aparecen por primera vez en Occidente, los nueve cifras hindúes y el signo del cero. Leonardo de Pisa brinda en su obra reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones, pero también proporciona la regla de tres simple y compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado.

References: Babylonian Square Roots
Gullberg, Jan. (1997). Mathematics: From the Birth of Numbers. New York: W.W. Norton & Company.
Joseph, George Gheverghese. (1991). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. London: Penguin Books.
Nelson, D., Joseph, G. and Williams, J. (1993). Multicultural Mathematics: Teaching Mathematics from a Global Perspective. New York: Oxford University Press.

Educación secundaria, enseñanza media, segundo ciclo de la educación general, Educación Secundaria Obligatoria (E.S.O), "escuela secundaria", "escuela preparatoria", high schools.

Simplificar Radicales 01

Historia de la raíces.

El descubrimiento de raíz cuadrada como un número irracional se atribuye generalmente al pitagórico Hippasus de Metapontum, quien fue el primero en producir la demostración (vía demostración geométrica) de la irracionalidad. La historia narra que precisamente descubrió la irracionalidad de la raíz de 2 cuando intentaba averiguar una expresión racional del mismo. Sin embargo Pitágoras creía en la definición absoluta de los números como media, y esto le obligaba a no creer en la existencia de los números irracionales. Por esta razón estuvo ya desde el principio en contra de esa demostración, por esta razón fue sentenciado a la pena capital por sus compañeros pitagóricos.

Los babilonios encontraron para √2  la aproximación 1.414213  con un algoritmo usado por Herón de Alejandría en su Métrica y que usaban ya los babilonios desde el año 1900  a.C. También lo usarían los Indios cerca del año 700 A.C. Según este algoritmo iterativo, se parte de un racional semilla r(1) entre √a y √(a+1), y para las siguientes aproximaciones r(n+1) se toma la media aritmética de r(n) y el racional a/r(n), siendo a el natural no cuadrado cuya raíz cuadrada quiere calcularse, es decir:

r(n+1) = [r(n) + a/r(n)]/2.

Leonardo de Pisa, Fibonacci, nombre con el que pasará a la Historia, aprovechó sus viajes

comerciales por todo el mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia, Grecia..., en uno de estos viajes  pudo entablar contacto y discutir con los matemáticos más notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los Elementos de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor. De su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de aritmética y álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes un potente sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace, en 1202, el Liber abaci, la primera gran obra matemática de la Edad Media. En él aparecen por primera vez en Occidente, los nueve cifras hindúes y el signo del cero. Leonardo de Pisa brinda en su obra reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones, pero también proporciona la regla de tres simple y compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado.

References: Babylonian Square Roots
Gullberg, Jan. (1997). Mathematics: From the Birth of Numbers. New York: W.W. Norton & Company.
Joseph, George Gheverghese. (1991). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. London: Penguin Books.
Nelson, D., Joseph, G. and Williams, J. (1993). Multicultural Mathematics: Teaching Mathematics from a Global Perspective. New York: Oxford University Press.

Educación secundaria, enseñanza media, segundo ciclo de la educación general, Educación Secundaria Obligatoria (E.S.O), "escuela secundaria", "escuela preparatoria", high schools.

Cuadrado de un Binomio 08

Álgebra Básica - Productos Notables.
Cuadrado de un Binomio.
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ejercicio: (√(a^3/b^5) + √(b^5/a^3))^2
Nivel: escuela secundaria, 2° ESO.

Hace unos 4.000 años, los babilonios conocían la manera de encontrar la solución positiva de ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas. Tenían una "receta" muy precisa para resolver ecuaciones del tipo, x^2 – bx = c con b>0 y c>0 , aunque estos símbolos   ( b, c, x, +, = ) no se usaban entonces.

Más adelante, matemáticos griegos, hindúes, árabes y europeos se dedicaron al estudio de estas ecuaciones y lograron avanzar a través del tiempo hasta encontrar la fórmula para resolver cualquier ecuación de segundo grado, es decir, una ecuación de la forma ax^2 + bx + c = 0, donde a, b y c   pueden ser números cualesquiera.

La fórmula que permite encontrar las soluciones de cualquier ecuación de tercer grado o ecuación cúbica no se encontró sino hasta el siglo XVI en Italia. Una ecuación cúbica es de la forma ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 donde a, b, c,  y d son números cualesquiera, y a ≠ 0.
Lo que tienen todas estas ecuaciones en especial, y que las hace ser de tercer grado, o cúbicas, es que la incógnita aparece elevada al exponente 3, y ese es el mayor exponente de la incógnita.

Por muchos siglos, antes del siglo XVI, los matemáticos intentaron encontrar la fórmula que sirviera para determinar las soluciones de cualquier ecuación cúbica, sin lograrlo.
La gran proeza matemática de descubrir la fórmula, fue realizada por el matemático italiano Scipione del Ferro, en primer lugar, y más adelante por Nicoló Tartaglia quien la obtuvo por su cuenta, sin conocer el trabajo de Scipione del Ferro.
Sin embargo, la fórmula es conocida con el nombre de "fórmula de Cardano", porque otro matemático llamado Girolamo Cardano, quien estudió cuidadosamente las soluciones de Tartaglia y del Ferro, luego fue quien publicó la fórmula por primera vez en un gran tratado sobre resolución de ecuaciones titulado "Ars Magna".

De esta forma es como surgió el polinomio así como muchas de las ecuaciones que hoy conocemos.

Cuadrado de un Binomio 07

Álgebra Básica - Productos Notables.
Cuadrado de un Binomio.
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ejercicio:(0.3xy -1.2)^2
Nivel: escuela secundaria, 2° ESO.

Hace unos 4.000 años, los babilonios conocían la manera de encontrar la solución positiva de ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas. Tenían una "receta" muy precisa para resolver ecuaciones del tipo, x^2 – bx = c con b>0 y c>0 , aunque estos símbolos   ( b, c, x, +, = ) no se usaban entonces.

Más adelante, matemáticos griegos, hindúes, árabes y europeos se dedicaron al estudio de estas ecuaciones y lograron avanzar a través del tiempo hasta encontrar la fórmula para resolver cualquier ecuación de segundo grado, es decir, una ecuación de la forma ax^2 + bx + c = 0, donde a, b y c   pueden ser números cualesquiera.

La fórmula que permite encontrar las soluciones de cualquier ecuación de tercer grado o ecuación cúbica no se encontró sino hasta el siglo XVI en Italia. Una ecuación cúbica es de la forma ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 donde a, b, c,  y d son números cualesquiera, y a ≠ 0.
Lo que tienen todas estas ecuaciones en especial, y que las hace ser de tercer grado, o cúbicas, es que la incógnita aparece elevada al exponente 3, y ese es el mayor exponente de la incógnita.

Por muchos siglos, antes del siglo XVI, los matemáticos intentaron encontrar la fórmula que sirviera para determinar las soluciones de cualquier ecuación cúbica, sin lograrlo.
La gran proeza matemática de descubrir la fórmula, fue realizada por el matemático italiano Scipione del Ferro, en primer lugar, y más adelante por Nicoló Tartaglia quien la obtuvo por su cuenta, sin conocer el trabajo de Scipione del Ferro.
Sin embargo, la fórmula es conocida con el nombre de "fórmula de Cardano", porque otro matemático llamado Girolamo Cardano, quien estudió cuidadosamente las soluciones de Tartaglia y del Ferro, luego fue quien publicó la fórmula por primera vez en un gran tratado sobre resolución de ecuaciones titulado "Ars Magna".

De esta forma es como surgió el polinomio así como muchas de las ecuaciones que hoy conocemos.

Cuadrado de un Binomio 06

Álgebra Básica - Productos Notables.
Cuadrado de un Binomio.
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ejercicio:(2√ 7 + 3√ 5)^2
Nivel: escuela secundaria, 2° ESO.

Hace unos 4.000 años, los babilonios conocían la manera de encontrar la solución positiva de ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas. Tenían una "receta" muy precisa para resolver ecuaciones del tipo, x^2 – bx = c con b>0 y c>0 , aunque estos símbolos   ( b, c, x, +, = ) no se usaban entonces.

Más adelante, matemáticos griegos, hindúes, árabes y europeos se dedicaron al estudio de estas ecuaciones y lograron avanzar a través del tiempo hasta encontrar la fórmula para resolver cualquier ecuación de segundo grado, es decir, una ecuación de la forma ax^2 + bx + c = 0, donde a, b y c   pueden ser números cualesquiera.

La fórmula que permite encontrar las soluciones de cualquier ecuación de tercer grado o ecuación cúbica no se encontró sino hasta el siglo XVI en Italia. Una ecuación cúbica es de la forma ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 donde a, b, c,  y d son números cualesquiera, y a ≠ 0.
Lo que tienen todas estas ecuaciones en especial, y que las hace ser de tercer grado, o cúbicas, es que la incógnita aparece elevada al exponente 3, y ese es el mayor exponente de la incógnita.

Por muchos siglos, antes del siglo XVI, los matemáticos intentaron encontrar la fórmula que sirviera para determinar las soluciones de cualquier ecuación cúbica, sin lograrlo.
La gran proeza matemática de descubrir la fórmula, fue realizada por el matemático italiano Scipione del Ferro, en primer lugar, y más adelante por Nicoló Tartaglia quien la obtuvo por su cuenta, sin conocer el trabajo de Scipione del Ferro.
Sin embargo, la fórmula es conocida con el nombre de "fórmula de Cardano", porque otro matemático llamado Girolamo Cardano, quien estudió cuidadosamente las soluciones de Tartaglia y del Ferro, luego fue quien publicó la fórmula por primera vez en un gran tratado sobre resolución de ecuaciones titulado "Ars Magna".

De esta forma es como surgió el polinomio así como muchas de las ecuaciones que hoy conocemos.

Cuadrado de un Binomio 05

Álgebra Básica - Productos Notables.
Cuadrado de un Binomio.
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ejercicio: (√6/2x^3 + 2√3/9y^7)^2
Nivel: escuela secundaria, 2° ESO.

Hace unos 4.000 años, los babilonios conocían la manera de encontrar la solución positiva de ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas. Tenían una "receta" muy precisa para resolver ecuaciones del tipo, x^2 – bx = c con b>0 y c>0 , aunque estos símbolos   ( b, c, x, +, = ) no se usaban entonces.

Más adelante, matemáticos griegos, hindúes, árabes y europeos se dedicaron al estudio de estas ecuaciones y lograron avanzar a través del tiempo hasta encontrar la fórmula para resolver cualquier ecuación de segundo grado, es decir, una ecuación de la forma ax^2 + bx + c = 0, donde a, b y c   pueden ser números cualesquiera.

La fórmula que permite encontrar las soluciones de cualquier ecuación de tercer grado o ecuación cúbica no se encontró sino hasta el siglo XVI en Italia. Una ecuación cúbica es de la forma ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 donde a, b, c,  y d son números cualesquiera, y a ≠ 0.
Lo que tienen todas estas ecuaciones en especial, y que las hace ser de tercer grado, o cúbicas, es que la incógnita aparece elevada al exponente 3, y ese es el mayor exponente de la incógnita.

Por muchos siglos, antes del siglo XVI, los matemáticos intentaron encontrar la fórmula que sirviera para determinar las soluciones de cualquier ecuación cúbica, sin lograrlo.
La gran proeza matemática de descubrir la fórmula, fue realizada por el matemático italiano Scipione del Ferro, en primer lugar, y más adelante por Nicoló Tartaglia quien la obtuvo por su cuenta, sin conocer el trabajo de Scipione del Ferro.
Sin embargo, la fórmula es conocida con el nombre de "fórmula de Cardano", porque otro matemático llamado Girolamo Cardano, quien estudió cuidadosamente las soluciones de Tartaglia y del Ferro, luego fue quien publicó la fórmula por primera vez en un gran tratado sobre resolución de ecuaciones titulado "Ars Magna".

De esta forma es como surgió el polinomio así como muchas de las ecuaciones que hoy conocemos.

Cuadrado de un Binomio 04

Álgebra Básica - Productos Notables.
Cuadrado de un Binomio.
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ejercicio: (3/5a + 1/2b)^2
Nivel: escuela secundaria, 2° ESO.

Hace unos 4.000 años, los babilonios conocían la manera de encontrar la solución positiva de ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas. Tenían una "receta" muy precisa para resolver ecuaciones del tipo, x^2 – bx = c con b>0 y c>0 , aunque estos símbolos   ( b, c, x, +, = ) no se usaban entonces.

Más adelante, matemáticos griegos, hindúes, árabes y europeos se dedicaron al estudio de estas ecuaciones y lograron avanzar a través del tiempo hasta encontrar la fórmula para resolver cualquier ecuación de segundo grado, es decir, una ecuación de la forma ax^2 + bx + c = 0, donde a, b y c   pueden ser números cualesquiera.

La fórmula que permite encontrar las soluciones de cualquier ecuación de tercer grado o ecuación cúbica no se encontró sino hasta el siglo XVI en Italia. Una ecuación cúbica es de la forma ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 donde a, b, c,  y d son números cualesquiera, y a ≠ 0.
Lo que tienen todas estas ecuaciones en especial, y que las hace ser de tercer grado, o cúbicas, es que la incógnita aparece elevada al exponente 3, y ese es el mayor exponente de la incógnita.

Por muchos siglos, antes del siglo XVI, los matemáticos intentaron encontrar la fórmula que sirviera para determinar las soluciones de cualquier ecuación cúbica, sin lograrlo.
La gran proeza matemática de descubrir la fórmula, fue realizada por el matemático italiano Scipione del Ferro, en primer lugar, y más adelante por Nicoló Tartaglia quien la obtuvo por su cuenta, sin conocer el trabajo de Scipione del Ferro.
Sin embargo, la fórmula es conocida con el nombre de "fórmula de Cardano", porque otro matemático llamado Girolamo Cardano, quien estudió cuidadosamente las soluciones de Tartaglia y del Ferro, luego fue quien publicó la fórmula por primera vez en un gran tratado sobre resolución de ecuaciones titulado "Ars Magna".

De esta forma es como surgió el polinomio así como muchas de las ecuaciones que hoy conocemos.

Cuadrado de un Binomio 03

Álgebra Básica - Productos Notables.
Cuadrado de un Binomio.
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ejercicio: (-8a^2b - b)^2
Nivel: escuela secundaria, 2° ESO.

Hace unos 4.000 años, los babilonios conocían la manera de encontrar la solución positiva de ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas. Tenían una "receta" muy precisa para resolver ecuaciones del tipo, x^2 – bx = c con b>0 y c>0 , aunque estos símbolos   ( b, c, x, +, = ) no se usaban entonces.

Más adelante, matemáticos griegos, hindúes, árabes y europeos se dedicaron al estudio de estas ecuaciones y lograron avanzar a través del tiempo hasta encontrar la fórmula para resolver cualquier ecuación de segundo grado, es decir, una ecuación de la forma ax^2 + bx + c = 0, donde a, b y c   pueden ser números cualesquiera.

La fórmula que permite encontrar las soluciones de cualquier ecuación de tercer grado o ecuación cúbica no se encontró sino hasta el siglo XVI en Italia. Una ecuación cúbica es de la forma ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 donde a, b, c,  y d son números cualesquiera, y a ≠ 0.
Lo que tienen todas estas ecuaciones en especial, y que las hace ser de tercer grado, o cúbicas, es que la incógnita aparece elevada al exponente 3, y ese es el mayor exponente de la incógnita.

Por muchos siglos, antes del siglo XVI, los matemáticos intentaron encontrar la fórmula que sirviera para determinar las soluciones de cualquier ecuación cúbica, sin lograrlo.
La gran proeza matemática de descubrir la fórmula, fue realizada por el matemático italiano Scipione del Ferro, en primer lugar, y más adelante por Nicoló Tartaglia quien la obtuvo por su cuenta, sin conocer el trabajo de Scipione del Ferro.
Sin embargo, la fórmula es conocida con el nombre de "fórmula de Cardano", porque otro matemático llamado Girolamo Cardano, quien estudió cuidadosamente las soluciones de Tartaglia y del Ferro, luego fue quien publicó la fórmula por primera vez en un gran tratado sobre resolución de ecuaciones titulado "Ars Magna".

De esta forma es como surgió el polinomio así como muchas de las ecuaciones que hoy conocemos.

Cuadrado de un Binomio 02

Álgebra Básica - Productos Notables.
Cuadrado de un Binomio.
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ejercicio: (5a - 6b)^2
Nivel: escuela secundaria, 2° ESO.

Hace unos 4.000 años, los babilonios conocían la manera de encontrar la solución positiva de ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas. Tenían una "receta" muy precisa para resolver ecuaciones del tipo, x^2 – bx = c con b>0 y c>0 , aunque estos símbolos   ( b, c, x, +, = ) no se usaban entonces.

Más adelante, matemáticos griegos, hindúes, árabes y europeos se dedicaron al estudio de estas ecuaciones y lograron avanzar a través del tiempo hasta encontrar la fórmula para resolver cualquier ecuación de segundo grado, es decir, una ecuación de la forma ax^2 + bx + c = 0, donde a, b y c   pueden ser números cualesquiera.

La fórmula que permite encontrar las soluciones de cualquier ecuación de tercer grado o ecuación cúbica no se encontró sino hasta el siglo XVI en Italia. Una ecuación cúbica es de la forma ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 donde a, b, c,  y d son números cualesquiera, y a ≠ 0.
Lo que tienen todas estas ecuaciones en especial, y que las hace ser de tercer grado, o cúbicas, es que la incógnita aparece elevada al exponente 3, y ese es el mayor exponente de la incógnita.

Por muchos siglos, antes del siglo XVI, los matemáticos intentaron encontrar lafórmula que sirviera para determinar las soluciones de cualquier ecuación cúbica, sin lograrlo.
La gran proeza matemática de descubrir la fórmula, fue realizada por el matemático italiano Scipione del Ferro, en primer lugar, y más adelante por Nicoló Tartaglia quien la obtuvo por su cuenta, sin conocer el trabajo de Scipione del Ferro.
Sin embargo, la fórmula es conocida con el nombre de "fórmula de Cardano", porque otro matemático llamado Girolamo Cardano, quien estudió cuidadosamente las soluciones de Tartaglia y del Ferro, luego fue quien publicó la fórmula por primera vez en un gran tratado sobre resolución de ecuaciones titulado "Ars Magna".

De esta forma es como surgió el polinomio así como muchas de las ecuaciones que hoy conocemos.

Cuadrado de un Binomio 01

Álgebra Básica - Productos Notables.
Cuadrado de un Binomio.
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ejercicio: (x+4y)^2
Nivel: escuela secundaria, 2° ESO.

Hace unos 4.000 años, los babilonios conocían la manera de encontrar la solución positiva de ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas. Tenían una "receta" muy precisa para resolver ecuaciones del tipo, x^2 – bx = c con b>0 y c>0 , aunque estos símbolos   ( b, c, x, +, = ) no se usaban entonces.

Más adelante, matemáticos griegos, hindúes, árabes y europeos se dedicaron al estudio de estas ecuaciones y lograron avanzar a través del tiempo hasta encontrar la fórmula para resolver cualquier ecuación de segundo grado, es decir, una ecuación de la forma ax^2 + bx + c = 0, donde a, b y c   pueden ser números cualesquiera.

La fórmula que permite encontrar las soluciones de cualquier ecuación de tercer grado o ecuación cúbica no se encontró sino hasta el siglo XVI en Italia. Una ecuación cúbica es de la forma ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 donde a, b, c,  y d son números cualesquiera, y a ≠ 0.
Lo que tienen todas estas ecuaciones en especial, y que las hace ser de tercer grado, o cúbicas, es que la incógnita aparece elevada al exponente 3, y ese es el mayor exponente de la incógnita.

Por muchos siglos, antes del siglo XVI, los matemáticos intentaron encontrar lafórmula que sirviera para determinar las soluciones de cualquier ecuación cúbica, sin lograrlo.
La gran proeza matemática de descubrir la fórmula, fue realizada por el matemático italiano Scipione del Ferro, en primer lugar, y más adelante por Nicoló Tartaglia quien la obtuvo por su cuenta, sin conocer el trabajo de Scipione del Ferro.
Sin embargo, la fórmula es conocida con el nombre de "fórmula de Cardano", porque otro matemático llamado Girolamo Cardano, quien estudió cuidadosamente las soluciones de Tartaglia y del Ferro, luego fue quien publicó la fórmula por primera vez en un gran tratado sobre resolución de ecuaciones titulado "Ars Magna".

De esta forma es como surgió el polinomio así como muchas de las ecuaciones que hoy conocemos.

Operadores Matematicos 112

Razonamiento Matemático.
Operadores Matemáticos.
Los operadores matemáticos son símbolos o figuras que por sí solos no representan alguna operación matemática, pero relacionándolos con cantidades y una ley de formación, adquieren una significación matemática. Operador: Símbolo sujeto a reglas o leyes que representa una determinada operación matemática. Ejemplo:

Suma	( + )
Resta	( - )
Multiplicación	( × )
División	( ÷ )
Radicación	(√ )

Los símbolos que se indican son la base para crear operaciones de diferentes reglas o leyes de operar.

Referencia: Problema tomado en el examen de admisión a la Universidad Nacional "SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO" UNASAM 2012-I.

Operadores Matematicos 204

Razonamiento Matemático.
Operadores Matemáticos.
Los operadores matemáticos son símbolos o figuras que por sí solos no representan alguna operación matemática, pero relacionándolos con cantidades y una ley de formación, adquieren una significación matemática. Operador: Símbolo sujeto a reglas o leyes que representa una determinada operación matemática. Ejemplo:

Suma	( + )
Resta	( - )
Multiplicación	( × )
División	( ÷ )
Radicación	(√ )

Los símbolos que se indican son la base para crear operaciones de diferentes reglas o leyes de operar.

Referencia: Problema tomado en el examen de admisión a la Universidad Nacional "SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO" UNASAM 2012-I.

Operadores Matematicos 203

Razonamiento Matemático.
Operadores Matemáticos.
Los operadores matemáticos son símbolos o figuras que por sí solos no representan alguna operación matemática, pero relacionándolos con cantidades y una ley de formación, adquieren una significación matemática. Operador: Símbolo sujeto a reglas o leyes que representa una determinada operación matemática. Ejemplo:

Suma	( + )
Resta	( - )
Multiplicación	( × )
División	( ÷ )
Radicación	(√ )

Los símbolos que se indican son la base para crear operaciones de diferentes reglas o leyes de operar.

Referencia: Problema tomado en el examen de admisión a la Universidad Nacional "SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO" UNASAM 2012-I.

Operadores Matematicos 202

Razonamiento Matemático.
Operadores Matemáticos.
Los operadores matemáticos son símbolos o figuras que por sí solos no representan alguna operación matemática, pero relacionándolos con cantidades y una ley de formación, adquieren una significación matemática. Operador: Símbolo sujeto a reglas o leyes que representa una determinada operación matemática. Ejemplo:

Suma	( + )
Resta	( - )
Multiplicación	( × )
División	( ÷ )
Radicación	(√ )

Los símbolos que se indican son la base para crear operaciones de diferentes reglas o leyes de operar.

Referencia: Problema tomado en el examen de admisión a la Universidad Nacional "SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO" UNASAM 2012-I.

Operadores Matematicos Ejercicios Resueltos

Operadores Matemáticos - Ejercicio 1


Operadores Matemáticos - Ejercicio 2

Razonamiento Matemático.
Operadores Matemáticos.
Los operadores matemáticos son símbolos o figuras que por sí solos no representan alguna operación matemática, pero relacionándolos con cantidades y una ley de formación, adquieren una significación matemática. Operador: Símbolo sujeto a reglas o leyes que representa una determinada operación matemática. Ejemplo:

Suma	( + )
Resta	( - )
Multiplicación	( × )
División	( ÷ )
Radicación	(√ )

Los símbolos que se indican son la base para crear operaciones de diferentes reglas o leyes de operar.

Operadores Matemáticos 03

Operadores Matemáticos.
Los operadores matemáticos son símbolos o figuras que por sí solos no representan alguna operación matemática, pero relacionándolos con cantidades y una ley de formación, adquieren una significación matemática. Operador: Símbolo sujeto a reglas o leyes que representa una determinada operación matemática. Ejemplo:

Suma	( + )
Resta	( - )
Multiplicación	( × )
División	( ÷ )
Radicación	(√ )

Los símbolos que se indican son la base para crear operaciones de diferentes reglas o leyes de operar.

Tipo de problema: Problemas para colegios de nivel secundario.

Operadores Matematicos 02

Operadores Matemáticos.
Los operadores matemáticos son símbolos o figuras que por sí solos no representan alguna operación matemática, pero relacionándolos con cantidades y una ley de formación, adquieren una significación matemática. Operador: Símbolo sujeto a reglas o leyes que representa una determinada operación matemática. Ejemplo:

Suma	( + )
Resta	( - )
Multiplicación	( × )
División	( ÷ )
Radicación	(√ )

Los símbolos que se indican son la base para crear operaciones de diferentes reglas o leyes de operar.

Tipo de problema: Problemas para colegios de nivel secundario.

Operadores Matematicos 01

Operadores Matemáticos.
Los operadores matemáticos son símbolos o figuras que por sí solos no representan alguna operación matemática, pero relacionándolos con cantidades y una ley de formación, adquieren una significación matemática. Operador: Símbolo sujeto a reglas o leyes que representa una determinada operación matemática. Ejemplo:

Suma	( + )
Resta	( - )
Multiplicación	( × )
División	( ÷ )
Radicación	(√ )

Los símbolos que se indican son la base para crear operaciones de diferentes reglas o leyes de operar.

Tipo de problema: Problemas para colegios de nivel secundario.

Operadores Matematicos 00

Operadores Matemáticos.
Los operadores matemáticos son símbolos o figuras que por sí solos no representan alguna operación matemática, pero relacionándolos con cantidades y una ley de formación, adquieren una significación matemática. Operador: Símbolo sujeto a reglas o leyes que representa una determinada operación matemática. Ejemplo:

Suma	( + )
Resta	( - )
Multiplicación	( × )
División	( ÷ )
Radicación	(√ )

Los símbolos que se indican son la base para crear operaciones de diferentes reglas o leyes de operar.

Tipo de problema: Problemas para colegios de nivel secundario.

Problema Conjuntos 09

Enunciado del problema: En un colegio 100 alumnos han rendido 3 exámenes. De ellos 40 aprobaron el primero, 39 el segundo y  48 el tercer examen. Aprobaron 10 los tres exámenes, 21 no aprobaron examen alguno, 9 aprobaron  los dos primeros, pero no el tercero; 19 no aprobaron los dos primeros exámenes pero sí el tercero.  Calcúlese cuántos alumnos aprobaron por lo menos 2 exámenes.
A)36         B)40            C)38           D)32         E)28

Los conjuntos.

La palabra conjunto la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de estudiantes, de libros, de escuelas y en otras ocasiones en palabras como rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos. Los conjuntos son colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas, y son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas,etc.; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta.

La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos — como números o polígonos por ejemplo —, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos.

Operaciones Conjuntos 104

Enunciado del problema: Para dos conjuntos A y B se cumple que:
Operaciones entre conjuntos.
Unión de conjuntos:
Al realizar esta operación estamos conformando un nuevo conjunto, que contiene todos los elementos o miembros de los conjuntos que se estén uniendo, sin que ninguno de sus miembros se repita.
Intersección de conjuntos:
Se conforma un nuevo conjunto que contenga los elementos o miembros comunes a los conjuntos que hagan parte de esta operación.
Diferencia de conjuntos:
Cuando se realiza la diferencia entre A y B, se obtiene como respuesta los elementos del conjunto que sólo son de A y no de B. 
Complemento de un conjunto:
Se buscan todos lo elementos que le hagan falta a un conjunto para convertirse o ser el conjunto universal o referencial.

Operaciones Conjuntos 103

Enunciado del problema: Decidir cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:
Operaciones entre conjuntos.
Unión de conjuntos:
Al realizar esta operación estamos conformando un nuevo conjunto, que contiene todos los elementos o miembros de los conjuntos que se estén uniendo, sin que ninguno de sus miembros se repita.
Intersección de conjuntos:
Se conforma un nuevo conjunto que contenga los elementos o miembros comunes a los conjuntos que hagan parte de esta operación.
Diferencia de conjuntos:
Cuando se realiza la diferencia entre A y B, se obtiene como respuesta los elementos del conjunto que sólo son de A y no de B. 
Complemento de un conjunto:
Se buscan todos lo elementos que le hagan falta a un conjunto para convertirse o ser el conjunto universal o referencial.

Operaciones Conjuntos 102

Enunciado del problema: Determinar por comprensión el siguiente conjunto A={3,5,7,9,11}
Operaciones entre conjuntos.
Unión de conjuntos:
Al realizar esta operación estamos conformando un nuevo conjunto, que contiene todos los elementos o miembros de los conjuntos que se estén uniendo, sin que ninguno de sus miembros se repita.
Intersección de conjuntos:
Se conforma un nuevo conjunto que contenga los elementos o miembros comunes a los conjuntos que hagan parte de esta operación.
Diferencia de conjuntos:
Cuando se realiza la diferencia entre A y B, se obtiene como respuesta los elementos del conjunto que sólo son de A y no de B. 
Complemento de un conjunto:
Se buscan todos lo elementos que le hagan falta a un conjunto para convertirse o ser el conjunto universal o referencial.

Operaciones Conjuntos 101

Enunciado del problema: Determinar por extensión, el siguiente conjunto: A={2x+1/x pertenece a N, 3<=x<6}
Operaciones entre conjuntos.
Unión de conjuntos:
Al realizar esta operación estamos conformando un nuevo conjunto, que contiene todos los elementos o miembros de los conjuntos que se estén uniendo, sin que ninguno de sus miembros se repita.
Intersección de conjuntos:
Se conforma un nuevo conjunto que contenga los elementos o miembros comunes a los conjuntos que hagan parte de esta operación.
Diferencia de conjuntos:
Cuando se realiza la diferencia entre A y B, se obtiene como respuesta los elementos del conjunto que sólo son de A y no de B. 
Complemento de un conjunto:
Se buscan todos lo elementos que le hagan falta a un conjunto para convertirse o ser el conjunto universal o referencial.

Operaciones Conjuntos 04

Enunciado del problema: Ejercicio de conjuntos (Operaciones Unión, Intersección y Complemento)
Operaciones entre conjuntos.
Unión de conjuntos:
Al realizar esta operación estamos conformando un nuevo conjunto, que contiene todos los elementos o miembros de los conjuntos que se estén uniendo, sin que ninguno de sus miembros se repita.
Intersección de conjuntos:
Se conforma un nuevo conjunto que contenga los elementos o miembros comunes a los conjuntos que hagan parte de esta operación.
Diferencia de conjuntos:
Cuando se realiza la diferencia entre A y B, se obtiene como respuesta los elementos del conjunto que sólo son de A y no de B. 
Complemento de un conjunto:
Se buscan todos lo elementos que le hagan falta a un conjunto para convertirse o ser el conjunto universal o referencial.

Operaciones Conjuntos 03

Enunciado del problema: Operaciones con Conjuntos: Complemento
1) Sea U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A={1,3,5,7,9} Obtener: AC. Expresar en el diagrama de Venn
2) Obtener: A^c, B^c, C^c, U^c, C n C^c

Operaciones entre conjuntos.
Unión de conjuntos:
Al realizar esta operación estamos conformando un nuevo conjunto, que contiene todos los elementos o miembros de los conjuntos que se estén uniendo, sin que ninguno de sus miembros se repita.
Intersección de conjuntos:
Se conforma un nuevo conjunto que contenga los elementos o miembros comunes a los conjuntos que hagan parte de esta operación.
Diferencia de conjuntos:
Cuando se realiza la diferencia entre A y B, se obtiene como respuesta los elementos del conjunto que sólo son de A y no de B. 
Complemento de un conjunto:
Se buscan todos lo elementos que le hagan falta a un conjunto para convertirse o ser el conjunto universal o referencial.

Operaciones Conjuntos 02

Enunciado del problema: Operaciones con Conjuntos: Intersección
1)Sean A={a,b,c} B={a,c,d}, obtener: A n B
2)Sean los conjuntos  U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},  A={2,4,8},  B={3,5,7}, C={9}
Obtener: AnB, AnC, BnC, AnU, BnU

Operaciones entre conjuntos.
Unión de conjuntos:
Al realizar esta operación estamos conformando un nuevo conjunto, que contiene todos los elementos o miembros de los conjuntos que se estén uniendo, sin que ninguno de sus miembros se repita.
Intersección de conjuntos:
Se conforma un nuevo conjunto que contenga los elementos o miembros comunes a los conjuntos que hagan parte de esta operación.
Diferencia de conjuntos:
Cuando se realiza la diferencia entre A y B, se obtiene como respuesta los elementos del conjunto que sólo son de A y no de B. 
Complemento de un conjunto:
Se buscan todos lo elementos que le hagan falta a un conjunto para convertirse o ser el conjunto universal o referencial.

Opereaciones Conjuntos 01

Enunciado del problema: Sea A={a,b,c} y B={a,c,d} obtener A u B.

Operaciones entre conjuntos.
Unión de conjuntos:
Al realizar esta operación estamos conformando un nuevo conjunto, que contiene todos los elementos o miembros de los conjuntos que se estén uniendo, sin que ninguno de sus miembros se repita.
Intersección de conjuntos:
Se conforma un nuevo conjunto que contenga los elementos o miembros comunes a los conjuntos que hagan parte de esta operación.
Diferencia de conjuntos:
Cuando se realiza la diferencia entre A y B, se obtiene como respuesta los elementos del conjunto que sólo son de A y no de B. 
Complemento de un conjunto:
Se buscan todos lo elementos que le hagan falta a un conjunto para convertirse o ser el conjunto universal o referencial.

Problema de Conjuntos 08

Enunciado del problema: Observa el diagrama e indica las expresiones verdaderas o falsas.

Los conjuntos.

La palabra conjunto la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de estudiantes, de libros, de escuelas y en otras ocasiones en palabras como rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos. Los conjuntos son colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas, y son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas,etc.; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta.

La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos — como números o polígonos por ejemplo —, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos.

Problema de Conjuntos 07

Enunciado del problema: De acuerdo con los diagramas, ¿qué proposiciones son verdaderas?.

Los conjuntos.

La palabra conjunto la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de estudiantes, de libros, de escuelas y en otras ocasiones en palabras como rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos. Los conjuntos son colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas, y son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas,etc.; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta.

La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos — como números o polígonos por ejemplo —, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos.