VideoBlog Matemático: integral trigonometrica

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domingo, 17 de febrero de 2013

10 Integral cos^3(x)/(sen x)^1/2 - Ejercicios Resueltos

Integrar cos³(x)/(sen x)^(1/2)

Integrales de funciones trigonométricas
Con carácter general un cambio que resulta muchas veces útil expresar las potencias funciones trigonométricas mediante funciones de ángulos múltiples, eso pude lograrse gracias a las siguientes identidades:
Por ejemplo las dos fórmulas anteriores permiten substituir potencias complejas de la función coseno por el coseno de ángulos múltiplo:
Integral que contiene potencias de senos y cosenos. En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).
La identidad permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.

09 Integrar cos^3(x)*sen^2(x) - Ejercicios Resueltos

Integrar cos³(x)*sen²(x)

08 Integrar sen^3(x)*cos^4(x) - Ejercicios Resueltos

Integrar sen³(x)*cos⁴(x)

07 Integral cos^2(x)*tan^3(x)

Integrar cos²(x)*tan³(x)

Integrales de funciones trigonométricas

Con carácter general un cambio que resulta muchas veces útil expresar las potencias funciones trigonométricas mediante funciones de ángulos múltiples, eso pude lograrse gracias a las siguientes identidades:

Por ejemplo las dos fórmulas anteriores permiten substituir potencias complejas de la función coseno por el coseno de ángulos múltiplo:

Integral que contiene potencias de senos y cosenos. En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).

La identidad permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.

06 Integral sen(2x) cos(3x) - Ejercicios Resueltos

Integrales de la forma sen(mx)*cos(nx) dx

Integrales de funciones trigonométricas

Por ejemplo las dos fórmulas anteriores permiten substituir potencias complejas de la función coseno por el coseno de ángulos múltiplo:

La identidad permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.

05 Integrar tan^5(x)*sec^3(x) - Ejercicios Resueltos

Integrar tan⁵(x)*sec³(x)

03 Integral tan2(x)*sec4(x) - Ejercicios Resueltos

Integrales de la forma tanⁿ(x)*sec^m(x)

Integrar tan²(x)*sec⁴(x)

Integral que contiene potencias de senos y cosenos $\int \sin^{n}x\cos^{m}xdx$

En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).
La identidad $\sin^2x$ $+$ $\cos^2x$ $=$ $1$ permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.

Existen 3 casos:

Cuando n es impar

Cuando $\scriptstyle n=2k+1$ , podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad $\sin^{2}x=1 - \cos^{2}x$ para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:

$\int \sin^{2k+1}x \cos^{m}x dx$
$\int \sin^{2k}x \cos^{m}x \sin x dx$
$\int (\sin^{2}x)^{k}\cos^{m}x \sin x dx$
$\int (1-\cos^{2}x)^{k} \cos^{m}x\sin x dx$

Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo $u=\cos(x)$ , $du=-\sin(x)dx$ . Como en la expresión no tenemos un $- \sin(x)dx$ multiplicamos ambos lados por $(-1)$ y nos queda la expresión $-du= \sin(x)dx$ que ya podemos sustituir:

$-\int (1 - u^{2})^{k}u^{m} du$

Cuando m es impar

Cuando $m=2k+1$ , podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplear $\cos^{2}x =1 - \sin^{2}x$ para poder expresar los factores restantes en términos del $\sin x$ :

$\int \sin^{n}x \cos^{2k+1}x dx$
$\int \sin^{n}x \cos^{2k}x \;\cos x dx$
$\int \sin^{n}x \;(\cos^{2}x)^{k}\;\cos x dx$
$\int \sin^{n}x\;(1 - \sin^{2}x)^{k}\;\cos x dx$

al hacer $u=\sin x$ y $du= \cos x dx$ tendríamos

$\int u^{n}\;(1 - u^{2})^{k} du$

Cuando m y n son pares

Cuando dichas potencias son pares a la vez $n= 2k$ y $m=2p$ , podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo:

$\sin^{2}x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x$

$\cos^{2}x =\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x$

algunas veces es útil usar la identidad:

$\sin x\;\cos x =\frac{1}{2}\sin 2x$
$\int \cos^{2p}x\;\sin^{2k}x dx$
$\int (\cos^{2}x)^{p}\;(\sin^{2}x)^{k} dx$

sería igual a:

$\int [\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x]^{p}\; [\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x]^{k} dx$

Ejemplo #1

$\int \sin^5x \; \cos^2x dx.$

Solución Lo primero que tenemos que ver es que la potencia impar la tiene la función seno, esto nos hace notar que estamos en el primer caso que describimos arriba, entonces aplicamos el algoritmo,

$\sin^5x \; \cos^2 x=(\sin^2x)^2 \; \cos^2x \; \sin x= (1-\cos^2x)^2 \; \cos^2x\;\sin x$

Sustituyendo $u=\cos x$ , tenemos $du=-\sin x dx$ luego:

$\begin{matrix} \int \sin^5 x \cos^2x dx= \int \sin^4 x \cos^2 x \sin x\ dx = \\ \int (1-\cos^2 x )^2 \cos^2x \sin x\ dx = \\ \int (1-u^2)^2\;u^2\;(-du)= -\int (u^2-2u^4+u^6)du = \\ -(\frac{u^3}{3} - \frac{2u^5}{5} + \frac{u^7}{7})+C = \\ -\frac{1}{3}\cos^3x + \frac{2}{5}\cos^5x - \frac{1}{7}\cos^7x + C \end{matrix}$

02 Integral Integrar sen^2(x)*cos^2(x) - Ejercicios Resueltos

Integrar sen²(x)*cos²(x)

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
En esta sección las identidades trigonométricas nos servirán para integrar ciertas combinaciones de funciones trigonométricas, además nos facilita al calculo de funciones racionales en el cual se nos facilitara mas aplicar dichas identidades. Comenzaremos con las potencias de seno y coseno.

(En donde al menos uno de los exponentes, n o m es un entero positivo).

Para evaluar la integral trigonométrica
En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).
La identidad permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno

01 Integral sen^3(x)*cos^2(x) - Ejercicio Resuelto

Integrar sen³(x)*cos²(x)

(En donde al menos uno de los exponentes, n o m es un entero positivo)

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