Integrar x^3*cosx dx - Integral por partes

La regla ALPES.
¿En qué consiste esta regla? Primero descubramos qué significado tienen cada una de las letras de esta alpina palabra:

• A: funciones Arco (arco seno, arco coseno, arco tangente)
• L: Logaritmos
• P: Potencias (de exponente numérico)
• E: Exponenciales
• S: Seno y coseno

Bien, ¿cómo usamos todo esto? Muy sencillo:

1. Convendrá utilizar el método de integración por partes cuando tengamos enfrente una integral de una función arco solamente, un logaritmo solamente o un producto de dos funciones que pertenezcan a dos de esos cinco tipos.
2. En el primero caso, sólo una función arco, llamaremos a esa función arco y al resto ( en este caso); en el segundo caso, sólo un logaritmo, llamaremos al logaritmo y al resto (también ); y en el tercer caso, el más interesante, el del producto, llamaremos a la función cuyo tipo aparezca primero en ALPES y al resto (que ahora será la otra función por ).

Por ejemplo, la integral

es un producto de , que pertenece a P, y , que entra en L. Como en ALPES la L aparece antes que la P, la asignación será:

A partir de ellos calcularemos (derivando lo que hemos llamado ) y (integrando lo que hemos llamado ), y aplicaremos la fórmula base del método (sí, la de la vaca, el soldadito o el uranio). Se entiende que la integral que nos quedará por resolver será sencilla. Generalmente será inmediata o susceptible de aplicarle de nuevo integración por partes.