jueves, 6 de junio de 2013

Integral de sen^(-1)x dx - Integración por partes





La regla ALPES.
¿En qué consiste esta regla? Primero descubramos qué significado tienen cada una de las letras de esta alpina palabra:
  • A: funciones Arco (arco seno, arco coseno, arco tangente)
  • L: Logaritmos
  • P: Potencias (de exponente numérico)
  • E: Exponenciales
  • S: Seno y coseno
Bien, ¿cómo usamos todo esto? Muy sencillo:
  1. Convendrá utilizar el método de integración por partes cuando tengamos enfrente una integral de una función arco solamente, un logaritmo solamente o un producto de dos funciones que pertenezcan a dos de esos cinco tipos.
  2. En el primero caso, sólo una función arco, llamaremos u a esa función arco y dv al resto (dx en este caso); en el segundo caso, sólo un logaritmo, llamaremos u al logaritmo y dv al resto (también dx); y en el tercer caso, el más interesante, el del producto, llamaremos u a la función cuyo tipo aparezca primero en ALPES y dv al resto (que ahora será la otra función por dx).
Por ejemplo, la integral
\displaystyle{\int x \log{(x)} \; dx}
es un producto de x, que pertenece a P, y \log{(x)}, que entra en L. Como en ALPES la L aparece antes que la P, la asignación será:
u=\log{(x)} \qquad dv=x \cdot dx
A partir de ellos calcularemos du (derivando lo que hemos llamado u) y v (integrando lo que hemos llamado dv), y aplicaremos la fórmula base del método (sí, la de la vaca, el soldadito o el uranio). Se entiende que la integral que nos quedará por resolver será sencilla. Generalmente será inmediata o susceptible de aplicarle de nuevo integración por partes.

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