VideoBlog Matemático: 2012

sábado, 29 de diciembre de 2012

Hallar angulo interior poligono regular

Si de cada vértice de un polígono regular parten exactamente 15 diagonales, la medida de los ángulos internos de ese polígono, en radianes, es:
A) 17π/10
B) 11π/12
C) 7π/8
D) 6π/7
E) 8π/9

Pregunta tomada en el Examen de Admisión UNAC 2012 I - Universidad Nacional del Callao.

viernes, 28 de diciembre de 2012

Mínimo Valor Función Exponencial

El menor valor asumido por la función f(x) = (1/2)^{(3 - x^2)}; ∀x∈ℛ es:
A) 1/4
B) 1/2
C) 1/8
D) 8
E) 4

Preguntas del Examen de Admisión UNAC 2012-I - Universidad Nacional del Callao.

Máximo valor expresión algebraica

Si "x" toma un valor entero entre 4 y 20, ademas "y" toma un valor entero entre 1 y 9, ¿cuál es el máximo valor de la expresión x-1/y?
A) 153/8
B) 151/8
C) 9/2
D) 39/8
E) 37/2

..
Pregunta tomada en el Examen de Admisión UNAC 2012-I - Universidad Nacional del Callao.

Problema Inecuacion con Factorial

Si log2 = 0,30 y log3 = 0,47 , se concluye que el menor número entero n que satisface la inecuación:
10⁵(n!) ≤ 3·(2·4·6·8 ...(2n)) es igual a:
A) 17
B) 15
C) 16
D) 14
E) 13

..
Pregunta tomada en el examen de Admisión UNAC 2012 I - Universidad Nacional del Callao.

Examen de Admisión UNAC 2010-II - Solucionario - Universidad Nacional del Callao

Enunciados de las Preguntas del Examen General de Admisión.

Contenido del Examen: Razonamiento Verbal, Analogías, Oraciones Incompletas, Eliminación de Oraciones, Plan de Redacción, Razonamiento Matemático, Física, Química, Biología, Lenguaje, Literatura, Historia Universal, Historia del Perú, Economía, Educación Cívica, Geografía, Filosofía y Lógica.

Examen de Admisión UNAC 2010 II - Solucionario del Examen de Admisión UNAC 2010 II - Universidad Nacional del Callao.

Examen de Admisión UNAC 2010-I - Solucionario - Universidad Nacional del Callao

Enunciados de las Preguntas del Examen General de Admisión.

Examen de Admisión UNAC 2010 I - Solucionario del Examen de Admisión UNAC 2010 I - Universidad Nacional del Callao.

jueves, 27 de diciembre de 2012

Examen de Admisión UNAC 2011-II - Solucionario - Universidad Nacional del Callao

Enunciados de las Preguntas del Examen General de Admisión.

Contenido del Examen: Razonamiento Verbal, Analogías, Oraciones Incompletas, Eliminación de Oraciones, Plan de Redacción, Razonamiento Matemático, Física, Química, Biología, Lenguaje, Literatura, Historia Universal, Historia del Perú, Economía, Educación Cívica, Geografía, Filosofía y Lógica.

Examen de Admisión UNAC 2011 II - Solucionario del Examen de Admisión UNAC 2011 II - Universidad Nacional del Callao.

Examen de Admisión UNAC 2011-I - Solucionario - Universidad Nacional del Callao

Enunciados de las Preguntas del Examen General de Admisión.

Contenido del Examen: Razonamiento Verbal, Analogías, Oraciones Incompletas, Eliminación de Oraciones, Plan de Redacción, Razonamiento Matemático, Física, Química, Biología, Lenguaje, Literatura, Historia Universal, Historia del Perú, Economía, Educación Cívica, Geografía, Filosofía y Lógica.

Soluciones de las preguntas.

Examen de Admisión UNAC 2011 I - Solucionario del Examen de Admisión UNAC 2011 I - Universidad Nacional del Callao.

miércoles, 5 de diciembre de 2012

Diagrama de Venn Problema Resuelto

De un grupo de alumnos de grado 11, se sabe que el 25% de los que aprueban matemáticas, aprueban física y que la mitad de los que aprueban matemáticas aprueban física. Si se sabe que el 25% de los alumnos no aprueban matemáticas y no aprueban física, entonces, el porcentaje de alumnos que aprueban matemáticas y física a la vez es:

A) 15%

B) 12%

C) 20%

D) 18%

Problema Diagrama de Venn

En una academia de baile existen personas que practican distintas categorías de baile de los cuales 24 no les gusta la salsa, 10 les gusta el bolero y el merengue, 44 no les gusta el bolero, 6 no les gusta ni la salsa ni el merengue, 40 les gusta el bolero o el merengue, a ninguno les gusta el bolero o la salsa solamente, 16 no les gusta el bolero ni la salsa.
Responda:
1) Cuántos les gusta solamente una categoría?
2) Cuántos les gusta por lo menos dos categorías?
3) Cuántos no bailan merengue o bolero?

--

Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática y Lógica de clases conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. La posición relativa en el plano de tales círculos muestra la relación entre los conjuntos.

Palabras clave: problema de conjuntos resuelto aplicando Diagramas de Venn Euler - Nivel Intermedio Avanzado - ejercicio difícil - ejercicio de conjuntos.

sábado, 1 de diciembre de 2012

Integral Sustitución Trigonométrica 02

Ejemplos Resueltos:
Ejemplo 01

1.	$\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{4+x^{2}}}}$

Sea $\displaystyle {x = 2\;tan\;\theta, \theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$
$\displaystyle {dx = 2\;sec^{2}\theta\;d\theta}$
Luego: $\displaystyle {4+x^{2} = 4+4\;tan^{2}\theta = 4(1 + tan^{2}\theta)}$
$\displaystyle {4+x^{2} = 4\;sec^{2}\theta }$
$\displaystyle {\sqrt{4+x^{2}} = \sqrt{4\;sec^{2}\theta} = \vert 2\;sec\;\theta\vert = 2\;sec\;\Theta}$
Sustituyendo
$\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{4+x^{2}}} = \int \frac{2\;sec^{2}\theta\;d\theta}{2\;sec\;\theta} = \int sec\;\theta\;d\theta}$
$\displaystyle {ln\;\vert sec\;\theta+ tan\;\theta\vert + C}$
$\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{4+x^{2}}} = ln\left\vert \frac{\sqrt{4+x^{2}}}{2} + \frac{x}{2}\right\vert + C}$

Ejemplo 02

2.	$\displaystyle {\int \frac{x^{2}\;dx}{\sqrt{x^{2}+6}}}$

Sea $\displaystyle {x = \sqrt{6}\;tan\;\theta, \theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

$\displaystyle {dx = \sqrt{6}\;sec^{2}\theta\;d\theta}$

Luego: $\displaystyle {x^{2} + 6 = 6\;tan^{2}\theta + 6 = 6(tan^{2}\theta + 1) = 6\;sec^{2}\theta}$

$\displaystyle {\sqrt{x^{2}+6} = \sqrt{6\;sec^{2}\theta} = \sqrt{6}\;sec\;\theta... ...heta>0 si \theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[\right)}$

Sustituyendo

$\displaystyle {\int \frac{x^{2}}{\sqrt{^{2}+6}}\;dx = \int \frac{6\;tan^{2}\the... ...a\;d\theta}{\sqrt{6}\;sec\;\theta} = 6\int tan^{2}\theta\;sec\;\theta\;d\theta}$

$\displaystyle {= 6 \int (sec^{2}\theta - 1)\;sec\;\theta\;d\theta = 6\int(sec^{3} - sec\;\theta)\;d\theta}$

$\displaystyle {= 6 \left[\frac{1}{2}(sec\;\theta\;tan\;\theta) + ln\;\vert sec\... ...eta + tan\;\theta\vert\right] -6\;ln\;\vert sec\;\theta + tan\;\theta\vert + C}$

$\displaystyle {= 3 sec\;\theta\;tan\;\theta - 3\;ln\;\vert sec\;\theta + tan\;\theta\vert + C}$

$\displaystyle {= 3 \cdot \frac{\sqrt{x^{2}+6}}{\sqrt{6}}\cdot \frac{x}{\sqrt{6}... ...;\left\vert\frac{\sqrt{x^{2}+6}}{\sqrt{6}} + \frac{x}{\sqrt{6}}\right\vert + C}$

$\displaystyle {= \frac{x\sqrt{x^{2}+6}}{2} - 3\;ln\;\left\vert\frac{\sqrt{x^{2}+6} + x}{\sqrt{6}}\right\vert + C}$

Ejemplo 03

3.	$\displaystyle {\int \frac{x\;dx}{(9+4x^{2})^{\frac{3}{2}}}}$

Sea $\displaystyle {x = \frac{3}{2}\;tan\;\theta, \theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

$\displaystyle {dx = \frac{3}{2}\;sec^{2}\theta\;d\theta}$

Luego $\displaystyle {9 + 4x^{2} = 9 + 4\cdot \frac{9}{4}\;tan^{2}\theta = 9 + 9\;tan^{2}\theta = 9(1 + tan^{2}\theta)}$

$\displaystyle {9 + 4x^{2} = 9\;sec^{2}\theta}$

$\displaystyle {(9 + 4x^{2})^{\frac{3}{2}} = (9\;sec^{2}\theta)^{\frac{3}{2}} = (9\;sec^{2}\theta)^{3}}$

$\displaystyle {(9 + 4x^{2})^{\frac{3}{2}} = (3\;sec\;\theta)^{3} = 27\;sec^{3}\theta}$

Sustituyendo

$\displaystyle {\int \frac{x\;dx}{(9+4x^{2})^{\frac{3}{2}}} = \int \frac{\frac{3... ...}\theta}\;d\theta = \frac{1}{12} \int \frac{tan\;\theta\;d\theta}{sec\;\theta}}$

$\displaystyle {= \frac{1}{12} \int \frac{\frac{sen\;\theta}{cos\;\theta}}{\frac... ...heta = \frac{1}{12} \int sen\;\theta\;d\theta = \frac{1}{12}(-cos\;\theta) + C}$

Como

$\displaystyle {tan\;\theta = \frac{2x}{3}}$ de la sustitución inicial

Por tanto:

$\displaystyle {\int \frac{x\;dx}{(9+4x^{2})^{\frac{3}{2}}} = \frac{-1}{12} \cdot\frac{3}{\sqrt{9+4x^{2}}} + C}$

$\displaystyle {= \frac{-1}{4\sqrt{9+4x^{2}}} + C }$

Ejemplo 04

4.	$\displaystyle {\int \frac{dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}+3}}}$

Sea $\displaystyle {x = \sqrt{3}\;tan\;\theta, \theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

$\displaystyle {dx = \sqrt{3}\;sec^{2}\theta\;d\theta}$

Luego $\displaystyle {x^{2} + 3 = 3\;tan^{2}\theta + 3 = 3(tan^{2}\theta + 1) = 3\;sec^{2}\theta}$

$\displaystyle {\sqrt{x^{2}+3} = \sqrt{3\;sec^{2}\theta} = \sqrt{3}\;sec\;\theta}$

Sustituyendo

$\displaystyle {\int \frac{dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}+3}} = \int \frac{\sqrt{3}\;sec^{... ...{3}\;sec\;\theta} = \frac{1}{9}\int \frac{sec\;\theta\;d\theta}{tan^{4}\theta}}$

$\displaystyle {= \frac{1}{9} \int \frac{cos^{4}\theta}{cos\;\theta\cdot sen^{4}\theta}\;d\theta = \frac{1}{9}\int \frac{cos^{3}\theta}{sen^{4}\theta}\;d\theta}$

$\displaystyle {= \frac{1}{9} \int \frac{(1-sen^{2}\theta)cos\;\theta}{sen^{4}\t... ...n^{4}\theta}- \frac{sen^{2}\theta\;cos\;\theta}{sen^{4}\theta}\right)\;d\theta}$

$\displaystyle {= \frac{1}{9} \int cos\;\theta(sen\;\theta)^{-4}\;d\theta - \frac{1}{9}\int cos\;\theta(sen\;\theta)^{-2}\;d\theta}$

$\displaystyle {= \frac{1}{9}\;\frac{(sen\;\theta)^{-3}}{-3} - \frac{1}{9}\;\frac{(sen\;\theta)^{-1}}{-1} + C}$

$\displaystyle {= \frac{-1}{27\;sen^{3}\theta} + \frac{csc\;\theta}{9} + C}$

Como $\displaystyle {x = \sqrt{3}\;tan\;\theta}$ entonces $\displaystyle {tan\;\theta = \frac{x}{3}}$

Por lo que:

se obtiene: $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}, csc\;\theta = \frac{\sqrt{x^{2}+3}}{x}}$

Por último:

$\displaystyle {\int \frac{dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}+3}} = \frac{-(\sqrt{x^{2} + 3})^{3}}{27\;x^{3}} + \frac{\sqrt{x^{2}+3}}{9x} + C}$

Integral Sustitución Trigonométrica 01

La integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen la forma

$\sqrt {a^2 - u^2}$ , $\sqrt{a^2 + u^2}$ y $\sqrt{u^2 - a^2}$

Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas.

Ejemplos:

Ejemplo 1

$\displaystyle {\int \sqrt{16 - x^{2}}\;dx\; x \varepsilon ]-4,4[}$
Sea $\displaystyle {x = 4\;sen\;\theta}$ con $\displaystyle {\theta\; \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$
$\displaystyle {dx = 4\;cos\;\theta\; d \theta}$

Luego: $\displaystyle {16-x^{2} = 16-16\;sen^{2}\theta = 16\;(1-sen^{2}\theta) = 16\;cos^{2}\theta}$

$\displaystyle {\sqrt{16-x^{2}} = 4\;cos\;\theta}$

Sustituyendo:

$\displaystyle {\int \sqrt{16-x^{2}}\;dx = \int 4\;cos\;\theta \cdot 4\;cos\;\theta\;d\theta = 16\int cos^{2}\theta\;d\theta}$

$\displaystyle {= 16\int \frac{1+cos\;2\theta}{2}\;d\theta = 8\int (1+cos\;2\theta)\;d\theta}$

$\displaystyle {= 8\;(\theta + \frac{1}{2}\;sen\;\theta) + C}$

$\displaystyle {= 8\theta + 4\cdot 2\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$

$\displaystyle {= 8\theta + 8\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$

Como $\displaystyle {x = 4\;sen\;\theta}$ entonces $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{x}{4}}$ y $\displaystyle {\theta = arcsen\left(\frac{x}{4}\right)}$

Además $\displaystyle {\sqrt{16-x^{2}} = 4\;cos\;\theta}$ por lo que $\displaystyle {cos\;\theta = \frac{\sqrt{16-x^{2}}}{4}}$

Estos resultados también pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:

Por último:

$\displaystyle {\int \sqrt{16-x^{2}}\;dx = 8\;\theta + 8\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$

$\displaystyle {=8\;arcsen\left(\frac{x}{4}\right) + 8\cdot \frac{x}{4}\cdot \frac{\sqrt{16-x^{2}}}{4} + C}$

$\displaystyle {\int \sqrt{16-x^{2}}\;dx = 8\;arcsen\left(\frac{x}{4}\right) + \frac{x\sqrt{16-x^{2}}}{2} + C}$

Ejemplo 2

2.	$\displaystyle {\int \frac{dx}{x\sqrt{25-4x^{2}}},\; x \varepsilon \left]\frac{-5}{2},\frac{5}{2}\right[}$

Sea $\displaystyle {x = \frac{5}{2}\;sen\;\theta,\; \theta\; \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

$\displaystyle {dx = \frac{5}{2}\;cos\;\theta\;d\theta}$

Luego $\displaystyle {25-4x^{2} = 25-4\cdot \frac{25}{4}\;sen^{2}\theta = 25-25\;sen^{2}\theta}$

$\displaystyle {25-4x^{2} = 25(1-sen^{2}\theta) = 25\;cos^{2}\theta}$

$\displaystyle {\sqrt{25-4x^{2}} = 5\;cos\;\theta}$

Sustituyendo

$\displaystyle {\int \frac{dx}{x\sqrt{25-4x^{2}}} = \int \frac{\frac{5}{2}\;cos\... ...sen\;\theta\cdot 5\;cos\;\theta} = \frac{1}{5}\int \frac{d\theta}{sen\;\theta}}$

$\displaystyle {=\frac{1}{5}\int csc\;\theta\;d\theta}$

$\displaystyle {=\frac{1}{5} \;ln\vert csc\;\theta - cot\;\theta\vert + C}$

Como $\displaystyle {x = \frac{5}{2}\;sen\;\theta}$ entonces $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{2x}{5}}$ por lo que puede utilizarse la siguiente figura para dar el resultado final:

$\displaystyle {csc\;\theta = \frac{1}{sen\;\theta} = \frac{1}{\frac{2x}{5}} = \frac{5}{2x}}$

Luego:

$\displaystyle {\int \frac{dx}{x\sqrt{25-4x^{2}}} = \frac{1}{5}\;ln\left\vert\frac{5}{2x} - \frac{\sqrt{25-4x^{2}}}{2x} \right\vert + C }$

Ejemplo 3

3.	$\displaystyle {\int \frac{x^{2}\;dx}{\sqrt{4-x^{2}}},\; x \varepsilon ]-2,2[}$

Sea $\displaystyle {x = 2\;sen\;\theta\; \hspace{2cm} \theta\;\varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$
$\displaystyle {dx = 2\;cos\;\theta\;d\theta}$

Además: $\displaystyle {4-x^{2} = 4-4\;sen^{2}\theta = 4\;cos^{2}\theta}$

$\displaystyle { \sqrt{4-x^{2}} = 2\;cos\;\theta}$

Sustituyendo:

$\displaystyle {\int \frac{x^{2}\;dx}{\sqrt{4-x^{2}}} = \int \frac{(2\;sen\;\theta)^{2}\;2\;cos\;\theta\;d\theta}{2\;cos\;\theta}= 4 \int sen^{2}\theta \;d\theta}$

$\displaystyle {= 4\int \frac{1-cos\;2\theta}{2}\;d\theta = 2 \int (1 - cos\;2\theta)\;d\theta}$

$\displaystyle {= 2\left(\theta - \frac{1}{2}\;sen\;2\theta\right) + C}$

$\displaystyle {= 2\theta - 2\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$

$\displaystyle {= 2\;arcsen\left(\frac{x}{2}\right) - 2\;\cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2} + C}$

$\displaystyle {= 2\;arcsen\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{x\;(4-x^{2})}{2} + C}$

Ejemplo 4

4.	$\displaystyle {\int \frac{dx}{(5-x^{2})^{\frac{3}{2}}},\; x \varepsilon ]-\sqrt{5},\sqrt{5}[}$

Sea $\displaystyle {x = \sqrt{5}\;sen\;\theta\; \hspace{2cm} \theta\;\varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

$\displaystyle {dx = \sqrt{5}\;cos\;\theta\;d\theta}$

Luego $\displaystyle {5-x^{2} = 5-5\;sen^{2}\theta = 5\;cos^{2}\theta}$

$\displaystyle {(5-x^{2})^{\frac{3}{2}} = (5\;cos^{2}\theta)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{(5\;cos^{2}\theta)^{3}}}$

$\displaystyle {(\sqrt{5}\;cos\;\theta)^{3} = 5\;\sqrt{5}\;cos^{3}\theta}$

Sustituyendo

$\displaystyle {\int \frac{dx}{(5-x^{2})^{\frac{3}{2}}} = \int \frac{\sqrt{5}\;c... ...} \int \frac{d\theta}{cos^{2}\theta} = \frac{1}{5} \int sec^{2}\theta\;d\theta}$

$\displaystyle {= \frac{1}{5}\;tan\;\theta + C}$

$\displaystyle {= \frac{1}{5}\cdot \frac{x}{\sqrt{5-x^{2}}} + C}$

pues $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{x}{\sqrt{5}}}$ y $\displaystyle {cos\;\theta = \frac{\sqrt{5-x^{2}}}{\sqrt{5}}}$

También puede utilizarse:

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