Integral: Técnica de Fracciones Parciales

Fracciones Parciales

Caso: Factores cuadráticos distintos

Donde ningún par de factores es idéntico.

Donde son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Integrales mediante Fraciones Parciales

Fracciones Parciales

Caso: Factores lineales distintos

Donde ningún par de factores es idéntico.

Donde son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Integral con Fracciones Parciales

Caso: Factores cuadráticos distintos

Donde ningún par de factores es idéntico.

Donde son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Ejercicio de Fracciones Parciales

El método de las fracciones parciales consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.

Caso: Factores lineales distintos.

Donde ningún par de factores es idéntico.

Donde son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Problema aplicación Diagrama de Carroll

La facultad de Ingeniería de una universidad ofrece dos carreras: Ingeniería civil e Ingeniería de sistemas. Actualmente, la facultad tiene 400 estudiantes, de los cuales 250 son hombres, 120 siguen Ingeniería civil y 110 mujeres siguen Ingeniería de sistemas. ¿Cuántos hombres en la facultad estudian la carrera de Ingeniería civil?

(A) 40

(B) 80

(C) 100

(D) 110

(E) Faltan datos

Problema Porcentajes-Diagrama de Carroll

Una clínica de un zoológico  atiende solo a perros y lobos. De los perros internados, 90% actúan como perros y 10% actúan como lobos. De la misma manera, de los lobos internados, 90% actúan como lobos y 10% actúan como perros. Se observó que 20% de todos los animales internados en esa clínica actúan como lobos. Si hay 10 lobos internados, halle el número de perros internados.

A) 40

B) 20

C) 50

D) 10

E) 70

Problema de Diagrama de Carroll

De un grupo de 52 veraneantes, 30 son mujeres; 12 hombres no usan sombreros. Si 30 personas usan sombreros, entonces, el número de mujeres que usan sombreros es:

A) 15

B) 22

C) 20

D) 10

E) 12

Problema aplicación de porcentajes

De un total de 50 camisas, un comerciante vende cierta cantidad ganando el 30% y vende el resto perdiendo el 20%. Si al final no ganó ni perdió, ¿con cuántas camisas vendidas obtuvo tal ganancia?

A. 30

B. 15

C. 35

D. 20

E. 25

Problema de Fracciones

Pedro realiza un trabajo en 10 horas y su ayudante, en 15 horas. El ayudante comienza primero y, después de 5 horas, trabajan juntos hasta terminar la obra. ¿Cuántas horas trabajaron juntos?

A. 5

B. 6

C. 4

D. 3

E. 7

Problema básico de criptoaritmetica

Halle la suma de las cifras del menor número de 5 cifras que, multiplicado por 3, da como resultado un número que termina en 637.

A. 25

B. 24

C. 27

D. 23

E. 28

Problema aplicación de los multiplos de un número.

Un vendedor tiene cinco canastas que contienen 4, 5, 6, 7 y 8 huevos cada una. Cada canasta contiene solo huevos de gallina o de codorniz y el vendedor dice: “Si vendo esta canasta, me quedaría el doble de huevos de gallina que de codorniz”. Halle la cantidad de huevos que contiene la canasta a la que hace referencia el vendedor.

A. 6

B. 5

C. 7

D. 8

E. 4

Problema de porcentajes - nivel intermedio

¿Qué tanto por ciento del 50% de 0,005 es 0,01?

A. 40%

B. 4%

C. 0,4%

D. 0,04%

E. 400%

Problema de razonamiento numérico

Dada la secuencia de números 1, 11, 111, 1111, … El dígito de las unidades de la suma de los
primeros 30 elementos de esta sucesión es:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Problema de razonamiento lógico

En un aula de clase con 120 estudiantes, tres de ellos se enteran de un rumor sobre el examen a las  9:00 a.m. Cada estudiante  comunica este hecho, cada media hora, a tres estudiantes que no conocían  el rumor, y estos últimos harán lo mismo media hora  después, y así sucesivamente.
La hora exacta en la cual todos los estudiantes conocen el rumor es:

A. 10:00 am.

B. 10:30 am.

C. 11:00 am.

D. 11:30 am

Problema de razonamiento lógico

Un brazo mecánico, que realiza la operación consistente en colocar piezas de ensamble en una banda  transportadora, falla  1 vez por cada 8 operaciones realizadas.  Para la ejecución de un proceso se  requiere colocar 63 piezas en la banda.
Entonces, de las siguientes afirmaciones la única verdadera es:
A. Basta con que el brazo realice 71 operaciones
B. Es necesario que el brazo ejecute 72 operaciones
C. Es suficiente que el brazo realice 70 o más operaciones
D. Es necesario que el brazo ejecute más de 72 operaciones

Problema de porcentajes

Cuando el agua se enfría hasta volverse hielo, el volumen del hielo formado es 9% mayor que el del agua.  La cantidad de agua que debe helarse para formar un iceberg de 654 m³ es:

A. 600 m3

B. 620 m3

C. 632 m3

D. 641 m3

Problema de porcentajes

En un salón de clase, el número de niños es el  60% y 10 hay niños más que niñas. Entonces el número total de alumnos es:

A. 60

B. 55

C. 50

D.45

Problema de porcentajes

Cuando a una obra le falta el 40% de su ejecución el tiempo de trabajo invertido por el equipo   es 26 días más que cuando llevaba el 40%. Si las condiciones de trabajo se mantienen, el tiempo  total, en días, de ejecución de la obra es:

A. 65

B. 104

C. 130

D. 156

Problema aplicación de multiplos de un número

La banda de músicos se filó de a 4 en fondo, salvo uno de los músicos que cerraba la marcha. El director  mandó filar de a 3 en fondo, pero igualmente sobraba uno. Un nuevo intento con formación de a dos volvió a dejar uno solo. Cuando ensayaron la formación en hileras de a 5 todas las filas quedaron completas. Sila banda no tiene más de 30 músicos, el número de músicos que compone la banda es:

A. 15

B. 20

C. 25

D. 30

Problema de porcentajes

Si el 17% de un número n es igual al 51% de 2500, entonces el valor de n es:

A. 1833

B. 3820

C. 5000

D. 7500

Problema de orden de información

La figura muestra un exhibidor de una librería donde están colocados 6 diccionarios de 6 idiomas:  Alemán, Italiano, Español, Francés, Inglés y Portugués. Se sabe que:

• El  diccionario  de  Español  está  a  la izquierda.
• El de Alemán está justo arriba del de Español.
• El de Inglés está en  el nivel más bajo.
• El de Italiano está justo debajo del de Portugués.

De las siguientes afirmaciones, la única que se tiene certeza es:
A. El diccionario de Español está en el nivel del medio.
B. El diccionario de Español está en el nivel más bajo.
C. El diccionario de Francés no está en el nivel medio.
D. El diccionario de Inglés está a la izquierda.

Problema de razonamiento lógico

Un estudio realizado a una máquina productora de tornillos ha establecido que de cada 4 tornillos  producidos, 1 es defectuoso. Si se requiere cubrir un pedido de 48 tornillos, entonces de las siguientes afirmaciones la única verdadera es:
A. Basta con producir 60 tornillos.
B. Es necesario producir 64 tornillos.
C. Es suficiente producir 56 tornillos o más.
D. Es necesario producir más de 64 tornillos.

Problema de razonamiento lógico

Un tanque de reserva de agua utiliza una bomba neumática para surtirse de un río cercano. Todos los  días la bomba sube el nivel del agua 2m; por la noche, el agua se filtra de regreso al río y el nivel baja 50cm. El nivel máximo alcanzado por el tanque durante el quinto día de llenado es:

A. 10 m

B. 8.50 m

C. 8.00 m

D. 7.50 m

Problema de porcentajes

En un estanque experimental se han sembrado dos especies de peces  designadas  como  A  y  B  respectivamente.  Al cabo exactamente de unaño se ha hecho un censo de ambas especies y se  encontró que mientras la población de A se incrementó en el 20%, la población de B disminuyó en el 10% y el número de peces de ambas especies resultó al final igual. Entonces la razón entre las poblaciones iniciales de la especie A, con relación a la especie B es:

A. 1/2

B. 3/4

C. 5/6

D. 8/9

Problema de porcentajes

En  una  elección  uno  de  los  candidatos  obtuvo  el  65% de  los votos y sacó 1500 votos más que el  otro candidato. Entonces el número de votos fue:

A. 4000

B. 4500

C. 5000

D. 5500

Problema de criptoaritmetica

   22M
x   F9
 13511
En la multiplicación señalada, M y F representan dígitos. Entonces los valores de M y F son respectivamente:

A. 8 y 5

B. 9 y 7

C. 3 y 6

D. 9 y 5

Problema de Orden de Información

Cecilia,  Diego,  Fabio,  Gloria  y  Mario  tienen  diferentes cantidades  de  dinero.   Ni  Gloria  ni  Cecilia   tienen  tanto  dinero como Fabio. Tanto Cecilia como Diego tienen más dinero que Mario.   Gloria  tiene   más  dinero  que  Mario,  pero  menos  que Cecilia.
Si adicionalmente se sabe que Diego no tiene tanto dinero como  Gloria, entonces el orden decreciente en  el cual está distribuido el dinero entre estas cinco personas es:
A.  Fabio, Gloria, Cecilia, Mario, Diego
B.  Gloria, Fabio, Diego, Cecilia, Mario
C.  Gloria, Fabio, Cecilia, Mario, Diego
D.  Fabio, Cecilia, Gloria, Diego, Mario

Problema de razonamiento lógico

El siguiente es un mapa de  la  parcelación; se consideran vecinos aquellos cuyas parcelas lindan en más de  un punto (comparten  un segmento).  Las parcelas se identifican con los números que aparecen en el gráfico.
De las siguientes afirmaciones,  la única de la cuál se tiene certeza es:
A.  Rosa vive en la parcela 3
B.  Juan vive en la parcela 6
C.  Rosa vive en la parcela 10
D.  María es vecina de Juan

Problema de Orden de Información

Un  supermercado  necesita  organizar  en  su  sección  de verduras, 5 clases  de  vegetales,  designados   por  B,  T,  A,  P,  F;  los  cuales  deben colocarse en una fila de 5 estantes consecutivos, no  necesariamente en  este  orden.   Las  influencias  que  uno  de  ellos  tienen  sobre  los otros   acelerando  su  maduración  y  las  condiciones  internas  de presentación, exigen que se cumplan las  siguientes condiciones para su ubicación, así:
•  B y T no pueden ocupar posiciones contiguas.
•  P y B ocupan posiciones contiguas.
•  P no está ubicado en un extremo y no está contiguo a F.
•  A no está contiguo a T ni contiguo a F.
De las situaciones que se describen a continuación, la única que no es posible, es:
A.  T está entre P y F.
B.  F está en un extremo.
C.  A está en un extremo.
D.  B está entre F y A.

Problema de razonamiento logico

Un  prisionero  tiene  la  posibilidad  de  obtener  su  libertad  si escoge una puerta adecuada entre 3  dadas. En cada una de las puertas  hay  una  inscripción,  pero  sólo  una  de  ellas es verdadera, estas son:        
Puerta 1: Esta puerta conduce a la libertad.
Puerta 2: Esta puerta no conduce a la libertad.
Puerta 3: La puerta 1 no conduce a la libertad.
La puerta que el prisionero debe escoger para tener la certeza de alcanzar su libertad es:
A. La puerta 1.
B. La puerta 2.
C. La puerta 3.
D. Cualquier puerta

Problema de porcentajes

El cuadro muestra el registro de las toneladas de alimentos que ingresan a la Central Mayorista de  Medellín, procedentes de 4 regiones del país, en un período determinado.
De las afirmaciones siguientes, la única falsa es:
A. El 20% del total de alimentos, corresponde a las frutas.
B. El 30% del total de las frutas, proviene de la región R3.
C. El 20% del total de las frutas, corresponde a las uvas.
D. El 40% del total del banano, proviene de la región R1.

Problema de Razonamiento Numérico

Los dígitos 1, 2, 3, 4 y 9 son usados una sola vez para formar el  número par de 5 cifras más pequeño.  El dígito en el lugar de las decenas es:

A. 2

B. 3

C. 4

D. 9

Problema de Orden de Información

Cecilia,  Diego,  Fabio,  Gloria  y  Mario  tienen  diferentes cantidades  de  dinero.   Ni  Gloria  ni  Cecilia  tienen  tanto  dinero como Fabio. Tanto Cecilia como Diego tienen más dinero que Mario.   Gloria  tiene  más  dinero  que  Mario,  pero  menos  que Cecilia. El que tiene la menor cantidad de dinero es:

A. Mario

B. Gloria

C. Diego

D. Cecilia

Problema de porcentajes

El cuadro muestra el registro de las toneladas de alimentos que ingresan a la Central Mayorista de  Medellín, procedentes de 4  regiones del país, en un período determinado.
De las afirmaciones siguientes, la única verdadera es:
A. Con relación al total de alimentos provenientes de la región R2, el 40% son cereales.
B. Con relación al total de cereales, el 62.5% proviene de la región R4.
C. Con relación al total de alimentos provenientes de la región R3, el 90% son frutas.
D. Con relación al total de naranjas, el 10% proviene de la región R2.

Pregunta de razonamiento geometrico

Se marcan n puntos: 1, 2, . . ., n sobre una circunferencia, y se ubican a igual distancia unos de otros.  Si el punto marcado 15 está directamente opuesto al marcado 49, el número de puntos marcados en la  circunferencia es:

A. 64

B. 66

C. 68

D. 70

Pregunta de razonamiento logico

El número máximo de paquetes de dimensiones 3x4x5 cm  que puede colocarse en una caja de  dimensiones 9x12x10 cm es:

A. 10

B. 12

C. 18

D. 24

Pregunta de razonamiento espacial

La figura muestra el desarrollo de un cubo. Si la suma de los números correspondientes a  dos caras opuestas es 7, entonces R y S, son respectivamente:

A. 1,5

B. 4,1

C. 4,5

D. 5,1

Problema de regiones sombreadas

Sobre una pared dividida en cuadros de 1 m de lado se pinta una letra Z como lo indica la figura:
El área de la figura pintada en m2 es:

A. 18

B. 20,5

C. 21

D. 24,5

Problema de fracciones - consumo

Natalia consume 2/5 de los bocaditos que compró. Si ella compró 140 bocaditos ¿cuántos de ellos le quedan?
A) 138      B) 84      C) 28      D) 56

Problema de fracciones - cortes en una varilla

Una persona toma 16 metros de una varilla. Luego toma los 2/3 del resto y observa que ambas partes tienen la misma longitud. Hallar entonces la longitud total de la varilla.
A) 10     B) 20      C) 30       D) 40

Problema de fracciones - pérdidas

Habiendo perdido un jugador la mitad de su dinero volvió al juego y perdió la mitad de lo que le quedaba, repitió lo mismo por tercera y cuarta vez, hasta que sólo le queda $600. ¿Cuánto dinero tenía al empezar al juego?
A) $7400     B) $8600     C) $9200     D) $9600.

Problema de fracciones - gastos

Al preguntar un padre a su hijo, cuánto había gastado de los $140  de propina que le dio, el hijo contestó. He gastado las 3/4 partes de lo que no gasté. ¿Cuánto gastó?
A) $60     B) $50     C) $40     D) $30

Problema de fracciones - ganancias

Un comerciante ha ganado durante 4 años una suma de $3600 en cada año ganó la mitad de lo ganado en el año anterior. ¿Cuánto ganó el primer año?
A) $1720    B) $1820     C) $1920    D) $1840

Problemas de fracciones - ecuaciones

Cuál es el número que aumentado en 8 unidades produce un resultado igual al que se obtiene dividiéndolo entre 3/5
A) 24     B) 12     C) 22     D) 11

Problema de fracciones - asientos de coliseo

Cierto coliseo aumentó la cantidad de asientos en sus 2/5. Si antes tenía 200 asientos, ¿cuántos tiene ahora?
A) 202      B) 80      C) 280      D) 250

Problema de razonamiento logico

Considere los siguientes sistemas en equilibrio:
El número de círculos T necesarios para equilibrar 5 círculos J es:

A. 17

B. 15

C. 16

D. 14

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Pregunta tomada en el examen de admisión a la UdeA Universidad de Antioquia

Problema de trigonometría

Cuando un hombre que camina proyecta una sombra igual a su altura, entonces el ángulo de  elevación θ del sol es

A. 30º

B. 45º

C. 60 º

D. 70º

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Pregunta tomada en el examen de admisión a la UdeA Universidad de Antioquia.
 

Problema de razonamiento geometrico

En la figura las cuatro circunferencias son tangentes y las circunferencias de centros en A, B y C tienen  radio igual a 2 unidades.  Entonces el perímetro del  ∆ABC es:

A. 8

B. 12

C. 14

D. 16

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Pregunta tomada en el examen de admisión a la UdeA Universidad de Antioquia

Problema sobre áreas sombreadas

Dos cuadrados de lados 6 y 4 unidades, respectivamente,  se traslapan como lo muestra la figura. La diferencia entre las áreas que no se traslapan es:

A. 30

B. 26

C. 20

D. 16√2

Planteamiento de ecuaciones cuadraticas

Se corta un alambre de 12 m de longitud en dos partes y  cada  una  de  ellas  se  dobla  para   formar un cuadrado.  Si el área total comprendida es 5 m². Entonces la longitud del trozo de  alambre mayor en metros es:

A. 5

B.6

C.7

D. 8

Conteo de cubos

La siguiente figura consta de nueve cubos pegados:
Usando esta figura como base, la menor cantidad de cubitos que faltan para construir un cubo sólido es:

A. 18

B. 27

C.55

D. 64

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Pregunta tomada en el examen de admisión a la UdeA Universidad de Antioquia