domingo, 17 de febrero de 2013

03 Integral tan2(x)*sec4(x) - Ejercicios Resueltos

Integrales de la forma tann(x)*secm(x)
Integrar tan2(x)*sec4(x)


Integral que contiene potencias de senos y cosenos \int \sin^{n}x\cos^{m}xdx

  • En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).
  • La identidad \sin^2x + \cos^2x = 1 permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.
Existen 3 casos:

Cuando n es impar

Cuando \scriptstyle n=2k+1, podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad \sin^{2}x=1 - \cos^{2}x para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:
\int \sin^{2k+1}x \cos^{m}x dx
\int \sin^{2k}x \cos^{m}x \sin x dx
\int (\sin^{2}x)^{k}\cos^{m}x \sin x dx
\int (1-\cos^{2}x)^{k} \cos^{m}x\sin x dx
Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo u=\cos(x), du=-\sin(x)dx . Como en la expresión no tenemos un - \sin(x)dx multiplicamos ambos lados por (-1) y nos queda la expresión -du= \sin(x)dx que ya podemos sustituir:
-\int (1 - u^{2})^{k}u^{m} du

Cuando m es impar

Cuando m=2k+1, podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplear \cos^{2}x =1 - \sin^{2}x para poder expresar los factores restantes en términos del \sin x:
\int \sin^{n}x \cos^{2k+1}x dx
\int \sin^{n}x \cos^{2k}x \;\cos x dx
\int \sin^{n}x \;(\cos^{2}x)^{k}\;\cos x dx
\int \sin^{n}x\;(1 - \sin^{2}x)^{k}\;\cos x dx
al hacer u=\sin x y du= \cos x dx tendríamos
\int u^{n}\;(1 - u^{2})^{k} du

Cuando m y n son pares

Cuando dichas potencias son pares a la vez n= 2k y m=2p, podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo:
\sin^{2}x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x
\cos^{2}x =\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x
algunas veces es útil usar la identidad:
\sin x\;\cos x =\frac{1}{2}\sin 2x
\int \cos^{2p}x\;\sin^{2k}x dx
\int (\cos^{2}x)^{p}\;(\sin^{2}x)^{k} dx
sería igual a:
\int [\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x]^{p}\; [\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x]^{k} dx

Ejemplo #1

  • \int \sin^5x \; \cos^2x dx.
Solución Lo primero que tenemos que ver es que la potencia impar la tiene la función seno, esto nos hace notar que estamos en el primer caso que describimos arriba, entonces aplicamos el algoritmo,
\sin^5x \; \cos^2 x=(\sin^2x)^2 \; \cos^2x \; \sin x= (1-\cos^2x)^2 \; \cos^2x\;\sin x
Sustituyendo u=\cos x , tenemos du=-\sin x dx luego:
\begin{matrix} \int \sin^5 x \cos^2x dx= \int \sin^4 x \cos^2 x \sin x\ dx = \\ \int (1-\cos^2 x )^2 \cos^2x \sin x\ dx = \\ \int (1-u^2)^2\;u^2\;(-du)= -\int (u^2-2u^4+u^6)du = \\ -(\frac{u^3}{3} - \frac{2u^5}{5} + \frac{u^7}{7})+C = \\ -\frac{1}{3}\cos^3x + \frac{2}{5}\cos^5x - \frac{1}{7}\cos^7x + C \end{matrix}
Publicado por en 14:33

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