Planteo de ecuaciones - numeros impares

La suma de tres números impares positivos y consecutivos excede al mayor de ellos en 28 unidades. Halle el producto de los tres números impares menos el producto de los números pares que se encuentran entre ellos.
A) 3091     B) 4621     C) 6459     D) 2369     E) 1512

Recomendaciones para plantear una ecuación

No existen reglas sencillas que garanticen el éxito en la resolución de problemas. Sin embargo es posible establecer algunas pautas generales y algunos principios que pueden ser útiles en la solución de problemas:

1. Leer y comprender el problema.

2. Ubicar la incógnita y relacionarlo con los datos del problema.

3. Plantear la ecuación y resolverla.

4. Comprobar el resultado. Ver si la respuesta es razonable.

Planteamiento de ecuaciones resuelto

Tenemos tres números: el segundo es 5 unidades más que el primero y el tercero es el doble de la suma de los dos primeros. Si la suma de los tres es 75, ¿Cuál es el segundo?
a) 6     b) 10     c) 15     d) 30     e) 50


--
Ya en el siglo XVI aC. los egipcios resolvían problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales que eran equivalentes a resolver ecuaciones algebraicas simples de primer grado; como la notación algebraica no existía usaban un método iterativo aproximado llamado el "método de la falsa posición".

Los matemáticos chinos de principios de nuestra era escribieron el libro "El Arte del cálculo" en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones algebraicas de primero y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Problema de planteamiento de ecuaciones

Entre tres alumnas tienen 28 libros. Bety tiene 3 menos que Ana y Caty tiene 2 menos que Bety. ¿Cuántos tiene Caty?
A) 7     B) 8     C) 2     D) 5     E) 6


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Una ecuación de primer grado se puede presentar en un enunciado. Pero, no existe ningún procedimiento definido o único que pueda ser utilizado para resolver cualquier tipo de problema.
Se recomienda lo siguiente:
1. Traducir el enunciado.
2. Resolver la ecuación.

Planteo de ecuaciones básico

Si la diferencia de dos números es 14560 y el duplo del mayor es 60000 ¿En cuánto excede el  número 76543 al menor de los dos números?
A) 61103     B) 61983     C) 60000     D) 62104     E) 31103


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ECUACIONES DE 1° GRADO Es toda expresión de forma Ax+b=0; porque hay una sola incógnita y  tiene como exponente un uno (1) que se encuentra sobreentendido en la parte superior de la variable.

Planteamiento de ecuaciones - edades

Juan tiene el triple de la edad de Luis. Si Juan tuviera 9 años menos y Luis 21 años más, ambas edades serían iguales. La edad de Juan, en años, es:
A) 40     B) 45    C) 38     D) 48     E) 29 


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En los problemas de edades se comparan dos momentos temporales (por ejemplo, hoy, ayer, dentro de cuatro años, etc.), estableciendo una relación matemática entre ellos.

Problemas con Planteamiento Ecuaciones - Curso Virtual Razonamiento Numérico

Plantear la ecuación equivale a expresar un enunciado (problema) al lenguaje matemático. Debemos que recordar que una ecuación está constituida por incognitas y datos.

Para resolver un problema mediante planteamiento de ecuaciones, en forma general, podemos distinguir los siguientes pasos:
  1. Lectura del enunciado
  2. Identificación de datos e incógnitas.
  3. Identificación de una relación entre datos e incógnitas llamada también: planteo de ecuación.
  4. Resolución de la ecuación.
  5. Verificación de los resultados obtenidos.
  6. Interpretación de los resultados.
A continuación veremos ejemplos de como realizar el planteamiento de una ecuación.

Planteamiento de Ecuaciones (Ecuaciones de primer grado)
Problemas Modelo
P1) La suma de tres números es 47, el segundo número es el triple del primero y el tercero excede en 12 al segundo. ¿Cuáles son dichos números?
P2) La suma de cuatro números consecutivos es 34. ¿Cuáles son dichos números?
P3) Un rectangulo mide 28 cm de perímetro. Si la base excede en 2 cm a la altura. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
P4) José tiene un paquete de hojas. Le dío una tercera parte del paquete a María y Ana se quedó con la cuarta parte de lo que le sobraba. Karen tomó un quinto del resto. Si a José le quedarón 20 hojas. ¿Cuántas hojas tenía el paquete?



P5) La edad de Jimena es tres veces la de su hermano Juan. En cuatro años, la suma de sus edades será igual  a la mitad de la de su padre en ese entonces, su padre tiene ahora 52 años. ¿Cuántos años tiene ahora   Juan y Jimena?

A) 3 y 9

B) 4 y 12

C) 5 y 15

D) 6 y 18

Tarea 1
Utilizar como guía los problemas anteriores, para resolver los siguientes problemas.

Problema 1
La suma de tres números impares consecutivos es igual a 99. Halle la suma de los dos números mayores.

A) 68

B) 69

C)65

D) 70

E) 66

Problema 2
Hallar cuatro números cuya suma sea 90. El segundo es el doble del primero, el tercero es el doble del segundo y el cuarto es el doble del tercero. ¿Cuáles son los números?
A) 8, 16, 32, 64     B) 5, 10, 20, 40     C) 6, 12, 24, 48     D) 10, 20, 40, 20

Problema 3
Al multiplicar un cierto número por 81 este aumenta en 154000. ¿Cuál es le dicho número?
A) 1500     B) 1925     C) 1230     D) 4000     E) 1845

Problema 4
Juan tiene el triple de la edad de Luis. Si Juan tuviera 9 años menos y Luis 21 años más, ambas edades serían iguales. La edad de Juan, en años, es:

A) 40

B) 45

C) 38

D) 48

E) 29

Problema 5
Si la diferencia de dos números es 14560 y el duplo del mayor es 60000 ¿En cuánto excede el  número 76543 al menor de los dos números?
A) 61103     B) 61983     C) 60000     D) 62104     E) 31103

Problema 6
Entre tres alumnas tienen 28 libros. Bety tiene 3 menos que Ana y Caty tiene 2 menos que Bety. ¿Cuántos tiene Caty?
A) 7     B) 8     C) 2     D) 5     E) 6

Problema 7
Tenemos tres números: el segundo es 5 unidades más que el primero y el tercero es el doble de la suma de los dos primeros. Si la suma de los tres es 75, ¿Cuál es el segundo?
a) 6     b) 10     c) 15     d) 30     e) 50

Problema 8
En un examen de 20 preguntas, por cada pregunta acertada dan 3 puntos y por cada pregunta fallada (equivocada o no contestada) quitan 2. ¿Cuántas preguntas ha acertado y cuántas ha fallado un alumno que ha obtenido un resultado de 15 puntos?
a) Acierta 11 y falla 8         b) Acierta 11 y falla 10          c) Acierta 9 y falla 8
d) Acierta 9 y falla 11         e) Acierta 11 y falla 9

Problema 9
En 1977 Ricardo tenía 20 años y sus hermanos 6 y 7 años respectivamente, ¿cuál es el menor número  de años que debe transcurrir a partir de ese año para que la edad de Ricardo llegue a ser menor que  la suma de las edades que tendrán sus dos hermanos?

A) 28

B) 16

C) 9

D) 8

E) 7

Problema 10
La suma de tres números impares positivos y consecutivos excede al mayor de ellos en 28 unidades. Halle el producto de los tres números impares menos el producto de los números pares que se encuentran entre ellos.
A) 3091     B) 4621     C) 6459     D) 2369     E) 1512

Problema 11
En un examen de admisión de 100 preguntas, Porfirio obtiene 4 puntos por cada respuesta correcta pero pierde 2 puntos por cada respuesta errada. Si después de haber resuelto el examen obtiene 88 puntos, ¿cuántas preguntas respondió correctamente, sabiendo que desarrolló todo el examen?
A) 45     B) 48     C) 54     D) 53     E) 46

Problema 12
Estoy leyendo un libro de 450 hojas. Si lo que he leído es la tercera parte de lo que me falta por leer, 
¿Cuál es la siguiente página que leeré?

A) 225

B) 224

C)351

D) 226

E) 301

Problema 13
Daniela divide el dinero que tiene en su cartera entre 100, resulta un número entero N. Si da N billetes de $ 20 a un mendigo, aún le quedan $ 1 440. ¿Cuánto tenía en su cartera?
A. $ 1 680     B. $ 1 800     C.$ 1 720     D. $ 960     E. $ 1 840

Problema 14
Si fuera 5 horas más de lo que es, faltaría para acabar el día, el triple de las horas que habían transcurrido hasta hace 3 horas. ¿Qué hora es?
A) 6:40 am     B) 6:50 am     C) 7:00 am     D) 7:10 am     E) 7:20 am

Problema 15
Miguel tiene 2 años más que su hermano José y la edad del padre es el cuádruplo de la edad de su hijo José. Si hace 5 años la suma de las edades de los tres era 77 años, ¿Cuántos años tiene actualmente José?
A) 15 años     B) 12 años     C) 21 años     D) 17 años     E) 14 años

Problema 16
Un empleador promete pagarle a Julio, por un año de trabajo, ocho mil cuatrocientos dólares más un  televisor. Si al cabo de ocho meses despide a Julio pagándole cuatro mil ochocientos  dólares más dos  televisores, cada uno, de igual costo que el prometido, halle el precio en dólares del televisor.

A) 500

B) 550

C)900

D) 750

E) 600

Problema 17
Falta para las 9 horas la mitad de minutos que pasaron desde las 7 horas. ¿Qué hora marca el reloj?
A) 8h 40min     B) 8h 20min     C) 7h 20min     D) 8h 10min     E) 9h 10min

Problema 18
La edad actual de una persona es el doble de otra, hace 7 años la suma de sus edades era igual al promedio de sus edades actuales disminuido en 0,5. Hallar la edad del mayor.
A) 20 años      B) 25 años         C) 16 años        D) 18 años        E) 9 años

Problema 19
En un zoológico, hay cuatro tortugas: Flash, Meteoro, Rayo y Viento. Viento tiene 32 años más que Meteoro, pero 14 menos que Flash; Rayo tiene tantos años como la suma de las edades de Viento y Meteoro. Si dentro de 25 años la suma de las edades será igual a dos siglos y medio, ¿Qué edad tiene Rayo?
A) 40 años         B) 38 años         C) 62 años         D) 48 años         E) 20 años

Problema 20
En el acondicionamiento de las aulas en la ciudad universitaria, el número de carpinteros duplica al número de electricistas. Al mes, cada carpintero gana $1 400 y cada electricista $1 200. Si en un mes la suma de los sueldos de todos ellos es $48 000, ¿Cuántos carpinteros hay?
A) 12     B) 6     C) 36     D) 24     E) 48

Planteamiento  de sistema de Ecuaciones (Sistema de ecuaciones lineales 2x2)
Problemas Modelo
1) Dos números suman 20 y su diferencia es 8. Encuentra dichos números.
2) 5 Camisas y 3 pantalones costarón  55 dólares y 4 camisas y 2 pantalones, a los mismos precios costaron 40 dólares, ¿Cuál es el precio de cada prenda?
3) Una caja registradora contiene $150 en monedas de $5 y $10. Si en total hay 21 monedas. ¿Cuántas monedas hay de cada tipo?
4) El perímetro de un rectángulo es 44m y su ancho es 2m mayor que su largo. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?



5) Por tres adultos y cinco niños se pagan 190 euros para entrar a un parque de diversiones. Si son cuatro adultos y siete niños, el valor a cancelar es 260 euros. ¿Cuál es el valor de cada entrada para adulto y para niño?



Tarea 2
Utilizar como guía los problemas anteriores, para resolver los siguientes problemas.
Problema 1
De dos números que suman 240,  uno de ellos es el cuádruple del otro. Calcular el triple de la sexta parte del menor.
A) 48   B) 16   C) 42   D) 24   E) 8

Problema 2
En una granja entre gallinas y cerdos se cuentan 100 patas y 35 cabezas. ¿Cuántos cerdos hay en la granja?
A) 15   B) 20   C) 25   D) 30   E) 35

Problema 3
El triple de un número excede a otro en 10; mientras que el triple del otro excede al primero en 26. Dar como respuesta el menor.
A) 5   B) 7   C) 9   D) 11   E) 13

Problema 4
En una isla se observa tantas alas de gaviotas como cabezas de pelicanos, una vez posadas se observan noventa patas. Determinar el numero de gaviotas.
A) 15   B) 18   C) 20   D) 25   E) 30

Problema 5
Tres jugadores A, B y C tienen cierta cantidad de dinero; A y B tienen juntos $36; A y C tienen juntos $39; B y C tienen juntos $43. ¿Cuánto tiene C?
A) $23     B) $45     C) $32     D) $40     E) $18

Problema 6
Rosa le dice a Gabriela: Yo peso 30 kg más la mitad de mi peso; y Gabriela responde: Yo peso 60 kg menos la mitad de mi peso. Determine la suma de los pesos de Rosa y Gabriela.
A) 75      B)90    C) 100    D) 120    E) 150

Problema 7
Dos ómnibus tienen 120 pasajeros, si del ómnibus con más pasajeros se trasladan los 2/5 de ellos al otro ómnibus, ambos tendrían igual número de pasajeros. ¿Cuántos pasajeros tiene cada ómnibus?
A) 70 y 50     B) 110 y 10     C) 80 y 40     D) 100 y 20     E) 90 y 30

Problema 8
En una hacienda hay vacas, caballos y cerdos. Sin contar las vacas, hay 24 animales, y sin contar los caballos, hay 36 animales, y sin contar los cerdos, hay 28 animales. ¿Cuál es el número de caballos en dicha hacienda?
A) 8     B) 6     C) 10     D) 12     E) 18


Problema 9
La edad actual de Pedro es igual a la mitad de la edad actual de Luis. Hace 12 años la edad de Pedro era la cuarta parte de la edad de Luis. ¿Hace cuántos años la edad de Pedro era la tercera parte de la edad de Luis?
A) 6     B) 9     C) 10     D) 12     E) 14

Problema 10
Un joyero fabrica un total de 16 anillos, unos de oro y otros de plata. Si vende 3 anillos de cada metal precioso, le queda un número de anillos tal que el número de los de plata es el cuádruple de los de oro. Indique la proposición verdadera referida al número de anillos que fabricó el joyero.
A) 11 anillos de oro                     B) 5 anillos de plata           C) 10 anillos de plata y 6 de oro
D) 5 anillos de oro                       E) 6 anillos de plata y 10 de oro

Problema 11
Un vendedor tiene cinco canastas que contienen 4, 5, 6, 7 y 8 huevos cada una. Cada canasta contiene solo huevos de gallina o de codorniz y el vendedor dice: “Si vendo esta canasta, me quedaría el doble de huevos de gallina que de codorniz”. Halle la cantidad de huevos que contiene la canasta a la que hace referencia el vendedor.
A) 6      B) 5      C) 7      D) 8     E) 4


Problema 12 
Henry le dice a Miguel: La suma de nuestras edades es 46 años y tu edad es el triple de la edad que  tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací. Entonces Miguel tiene actualmente:
A) 12      B) 24      C) 28      D) 48     E) 34



Tarea 3
Problema 1
Si subo las escaleras de 2 en 2, doy 6 pasos más que subiendo de 3 en 3. ¿Cuántos escalones tiene la escalera?

Problema 2
Si al numerador de la fracción 3/5 se le suma un número y al denominaor se le resta el mismo número se obtiene otra fracción equivalente a la reciproca de la fracción dada. Calcular el número.

Problema 3
En una granja se tienen cerdos, patos y gallinas. Sin contar los cerdos tenemos 9 animales, sin contar los patos se tendrá 7 animales y sin contar las gallilnas tenemos 14 animales ¿Cuántos cerdos hay?
A) 6     B) 2    C) 8    D) 1    E) 1

Problema 4
Yarita al ser preguntada por la hora, responde: "quedan del dia ocho horas menos que las transcurridas", ¿Qué hora es?

Problema 5
Juan le dice a Pedro: "Dame $18000 y asi tendré doble dinero que tú", y Pedro le contesta: "Más justo es que tú me des $1500  y así tendremos los dos igual cantidad" ¿Cuánto dinero tenía Pedro?

Soluciones: Problemas 1 a 5



Problema 6 (Ecuaciones cuadráticas)
Se ha comprado con 6000 pesos cierto número de cuadernos, si cada cuaderno hubiese costado 180 pesos menos, con el mismo dinero se hubiesen podido comprar 30 cuadernos más. Calcular el número de cuadernos.
A) 40  B) 20    C) 50    D) 100    E) 80

Problema 7
En un estacionamiento se cuenta 27 vehiculos entre autos y bicicletas. Si en total se han contado 60 llantas. ¿Cuántas bicicletas hay?
A) 24  B) 25    C) 23    D) 27    E) 48

Problema 8 (Ecuaciones cuadráticas)
Varios amigos alquilaron un bus por $400 para una excursión, a pagar por partes iguales, pero faltaron dos de ellos y cada uno de los que asistieron  tuvieron que pagar $10 más. ¿Cuántos fueron a la excursión?
A) 4  B) 6    C) 8R   D) 10    E) 12

Problema 9
Lo que cobra y gasta Yarita suman $600 y están en la relación de 3 a 2. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto para que dicha relación sea de 5 a 3?
A) 16    B) 24    C) 32    D) 15    E) 20

Problema 10
Un estante puede guardar 24 libros de RM y 20 libros de RV o 36 de RM y 15 de RV ¿Cuántos libros de RM puede contener el estante?
A) 82     B) 86     C) 84     D) 72     E) 66

Problema 11
En un corral se observa 3 gallinas por cada 5 patos y 4 conejos por cada 3 patos. Si en total se cuentan 176 cabezas ¿Cuál es el número total de patas?
A) 412     B) 484    C) 512R     D) 521     E) 544

Soluciones: Problemas 6 a 11

Problema de promedios de notas

En el curso de Cálculo: El promedio de notas de 30 alumnos de Ing. Industrial es 15, el promedio de 30 alumnos de Ing. Civil es 16 y el promedio de 30 alumnos de Matemáticas es 11. Hallar el promedio aritmético de notas del total de alumnos.
A) 13     B) 12     C) 14     D) 11     E) 15

Problema de promedios de estaturas

De 500 estudiantes de una I.E. la estatura promedio es de 1,67 m; por cada 3 mujeres hay 7 hombres. Si la estatura promedio de todas las mujeres es de 1,60 m, ¿cuál es el promedio de las estaturas de los varones de la I.E.?
A) 1,68 m     B) 1,70 m     C) 1,72 m     D) 1,71 m     E) 1,60 m



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Promedio Ponderado
Un promedio en el cual el resultado no surge de sumar todos los valores y dividirlos por el número total de valores, sino de asignarle un peso (de allí ponderado) a cada valor para que algunos valores influyan más en el resultado que otros.

Ejemplo con notas
Matemática: 4
Psicología: 6
Seminario de croché: 8
Promedio directo de calificaciones: 6

Si se pondera cada materia por su valor en la educación general, asignando a matemática el 60%, a psicología el 30%, y al croché un 10% , el promedio ponderado da:
4 x 0,6 + 6 x 0,3 + 8 x 0,1 = 5

Un alumno que se hubiera sacado 8, 6 y 4 tendría el mismo promedio directo o simple, pero un promedio ponderado de 7, porque está mejor preparado para la vida con la matemática que con el croché ¿o no? Pues la ponderación es la mayoría de las veces, una cuestión de criterio.

Problema sobre porcentajes

El promedio de las edades del 40% de los asistentes a una reunión es 40 años, el promedio del 25% del resto es de 28 años, ¿cuál debe ser el promedio del resto de personas, si todos los asistentes en promedio tienen 31 años?
a) 28 años      b) 25 años     c) 26 años     d) 24 años    e) 22 años

Sistema de Ecuaciones Lineales 2x2 - Métodos de Solución

En matemáticas, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado).

Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x₁, x₂ y x₃ que satisfacen las tres ecuaciones.
 
Métodos de Solución de Sistemas de Ecuaciones
Método de Sustitución
Explicación práctica.

Ecuaciones de Primer Grado - Teoría y Ejercicios

¿Qué son Ecuaciones de Primer Grado? y ¿cómo resolverlas?



Ejericicios Resueltos.
 Resolver:
1) 4x + 1 = 7        2) 5x + 6 = 30 - 19x           3) 3(x-1) = 6-(x+9)

Problema - promedio de edades

El promedio de las edades de cuatro personas es 28 años, si consideramos una quinta persona el promedio aumenta en un año. ¿Cuál es la edad de la quinta persona?
A) 32      B) 33     C) 35     D) 31      E) 34



La mayoría de nosotros usa el promedio continuamente. Para calcular la nota media de un alumno, por ejemplo. Cuando nos indican que el hombre medio mide 1,78 metros, enseguida creemos que es el ciudadano típico.

Problema - promedios de numeros restantes

El promedio de 50 numeros es 38, siendo 45 y 55 dos de los numeros. Si se elimina ambos numeros el promedio de los restantes es:
A) 36,5       B) 37       C) 35,5       D) 37,5     E) 36



Hay por lo menos un dato que es mayor o igual que la media aritmética. Por ejemplo, es fácil deducir que en una reunión de 38 individuos hay necesariamente al menos 4 que nacieron el mismo mes. El promedio de individuos que nacieron por mes es 38/12 ≈ 3,167. Luego en algún mes nacieron en una cantidad entera y mayor o igual que el promedio, o sea 4 ≥ 3,167

Problema de promedios - demostracion de propiedades

Si cada numero de un conjunto de diez numeros se disminuye en 20, entonces el promedio de los diez números originales:
A) Se aumenta en 20           B) Se disminuye 20             C) Se disminuye en 200
D) Es el mismo                    E) Se aumentan en 200


Propiedades de la Media Aritmetica:

1. Si a todos los valores de la variable se le suma una misma cantidad, la media aritmética queda aumentada en dicha cantidad.
2. Si todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante la media aritmética queda multiplicada por dicha constante.

Problema de promedio de dos grupos

En un grupo de 18 hombres y 12 mujeres, el promedio de edades de los hombres era 16 y de las mujeres 14. ¿Cuál era el promedio de todo el grupo?
A) 5,0    B) 16,2    C) 15,2     D) 15,1     E) 16,1


El concepto de promedio se vincula a la media aritmética, que consiste en el resultado que se obtiene al generar una división con la sumatoria de diversas cantidades por el dígito que las represente en total. Claro que esta noción también se utiliza para nombrar al punto en que algo puede ser dividido por la mitad o casi por el medio y para referirse al término medio de una cosa o situación.

Problema de promedios

En la ciudad de VillaRica, de 100 casas tiene un promedio de 5 habitantes por casa y la ciudad de Bellavista de 300 casas tiene un promedio de 1 habitante por casa. ¿Cuál es el promedio de habitantes por casa para ambas ciudades?
A) 1   B) 2    C) 3    D) 4    E) 5


Promedio: Suma de todos los valores numéricos dividida entre el número de valores para obtener un número que pueda representar de la mejor manera a todos los valores del conjunto.

Por ejemplo, el promedio de 6 números (3, 4, 2, 2, 5, 2) es (3 + 4 + 2 + 2 + 5 + 2) ÷ 6 = 3

Problema: Media Aritmetica

 La media aritmética de un conjunto de 10 números es 16. Si incluimos los números 8 y 12 en el conjunto. ¿Cuál es la media aritmética de este nuevo conjunto?
A) 17      B) 12      C) 15      D) 18     E) 13



Cuando tenemos que resumir un conjunto de datos numéricos es muy frecuente utilizar la media aritmética. La media aritmética o promedio destaca por representar el reparto equitativo, el equilibrio, la equidad. Es el valor que tendrían los datos, si todos ellos fueran iguales. O, también, el valor que correspondería a cada uno de los datos de la distribución si su suma total se repartiera por igual.

Promedios - Curso Virtual Razonamiento Numérico

El promedio (también llamada media aritmética o simplemente media) de un conjunto finito de números es igual a la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos.

Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que el promedio es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación.

Por ejemplo, si en una habitación hay tres personas, la media de dinero que tienen en sus bolsillos sería el resultado de tomar todo el dinero de los tres y dividirlo a partes iguales entre cada uno de ellos. Es decir, la media es una forma de resumir la información de una distribución (dinero en el
bolsillo) suponiendo que cada observación (persona) tuviera la misma cantidad de la variable.

Respaso de la Teoría con Ejemplos.



Ejemplo 1
Juana, Luisa, Maria, José son cinco amigos cuyas edades son 14, 12, 15, 13 y 16 respectivamente. ¿Cuál es la edad promedio de los amigos?

Practica 1
Si no tienes mucho dominio de este tema a modo de afianzar el concepto de promedios, resolver los siguientes ejercicios.

 

Problema Modelo 1.
El promedio aritmetico de cinco números pares consecutivos es 28. Calcular la diferencia entre el mayor y el menor.



Tarea 1
Problema 1
El promedio de 6 números pares consecutivos es 13. Calcular el promedio de los dos mayores.
A) 15     B) 14     C) 16     D) 17



Problema 2
Si el promedio (la media aritmética) de 6,6,12,16 y m es igual a m, ¿Cuál es el valor de m?
A) 6     B) 8     C) 9     D) 34     E) N.A.

Problema 3
El promedio de 20 números es 25, si se le agrega un número más el promedio sigue siendo el mismo. ¿Cuál es el nuevo número?
A) 20     B) 25     C) 45     D) 50

Problema 4
El promedio de 6 números es 12. Si el promedio de 4 de ellos es 11, ¿cuál es el promedio de los otros dos números?
A) 14     B)15     C)13     D)12

Problema 5
El promedio de las 6 calificaciones de matemáticas de Juanito es 75, afortunadamente para Juanito su  profesor eliminó su peor nota y el promedio de Juanito subió a 85,  ¿cuál era la peor nota de Juanito?
A) 20     B) 25     C) 30     D) 40     E) 50

Tarea 2
Los siguientes problemas se pueden resolver solamente teniendo encuenta la definición de promedio aritmético, no se requieren de conocimientos adicionales.
Problema 1
La media aritmética de un conjunto de 10 números es 16. Si incluimos los números 8 y 12 en el conjunto. ¿Cuál es la media aritmética de este nuevo conjunto?
A) 17    B) 12    C) 15     D) 18    E) 13

Problema 2
En la ciudad de VillaRica, de 100 casas tiene un promedio de 5 habitantes por casa y la ciudad de Bellavista de 300 casas tiene un promedio de 1 habitante por casa. ¿Cuál es el promedio de habitantes por casa para ambas ciudades?
A) 1    B) 2     C) 3     D) 4    E) 5

Problema 3
El promedio de 50 números es 62.1, se retiran cinco números cuyo promedio es 18. ¿En cuánto varía  el promedio?
A) 5.0     B) 4.9     C) 4.1     D) 3.9     E) 5.0

Problema 4
El promedio de 50 numeros es 38, siendo 45 y 55 dos de los numeros. Si se elimina ambos numeros el promedio de los restantes es:
A) 36,5    B) 37    C) 35,5    D) 37,5     E) 36

Problema 5
Si cada numero de un conjunto de diez numeros se disminuye en 20, entonces el promedio de los diez números originales:
A) Se aumenta en 20        B) Se disminuye 20        C) Se disminuye en 200
D) Es el mismo                E) Se aumentan en 200

Problema 6
El promedio de las edades de cuatro personas es 28 años, si consideramos una quinta persona el promedio aumenta en un año. ¿Cuál es la edad de la quinta persona?
A) 32    B) 33    C) 35    D) 31    E) 34

Problema 7
El promedio de las edades de 4 personas es 30, si ninguna de ellos es mayor de 35 años, ¿cuál será la
mínima edad que uno de ellos puede tener?
A) 25 años     B) 20 años     C) 18 años     D) 15 años

Problema 8
Se supone que un carpintero construye un mínimo de "t" mesas diarias. En "d" días construye "k" mesas más que el mínimo ¿cuál es el promedio de mesas que construyó cada día?
A) k/d     B) t/d     C) k/d + t     D) (t-k)/d     E) (k+t)/d

Tarea 3
Para resolver algunos de los siguientes problemas aparte de conocer la definición de promedio se requieren conocimientos adicionales ( fracciones, razones y proporciones, porcentajes, etc.). Sino tuvieran muchos conocimientos sobre esos temas, no se preocupen más adelante los vamos a estudiar en profundidad, pero de todos modos les pido que intenten resolver estos los problemas con lo que recuerden. 

Problema 1
En un grupo de 18 hombres y 12 mujeres, el promedio de edades de los hombres era 16 y de las mujeres 14. ¿Cuál era el promedio de todo el grupo?
A) 5,0      B) 16,2      C) 15,2     D) 15,1     E) 16,1

Problema 2
El promedio de 20 números es 40. Si agregamos 5 números, cuyo promedio es 20. ¿Cuál es el promedio final?
A) 42      B) 20      C) 40      D) 30      E) 36

Problema 3 (requiere conocimiento de razones y proporciones)
El promedio aritmético de las edades de 3 hermanos es 20, donde sus edades están en la relación de 5, 3, y 2. Calcular la edad del menor.
A) 30 años     B) 18 años     C) 15 años     D) 12 años

Problema 4 (requiere conocimiento de porcentajes)
El promedio de las edades del 40% de los asistentes a una reunión es 40 años, el promedio del 25% del resto es de 28 años, ¿cuál debe ser el promedio del resto de personas, si todos los asistentes en promedio tienen 31 años?
A) 28 años      b) 25 años     c) 26 años     d) 24 años    e) 22 años

Problema 5 (requiere conocimiento de razones y proporciones)
De 500 estudiantes de una I.E. la estatura promedio es de 1,67 m; por cada 3 mujeres hay 7 hombres. Si la estatura promedio de todas las mujeres es de 1,60 m, ¿cuál es el promedio de las estaturas de los varones de la I.E.?
A) 1,68 m     B) 1,70 m     C) 1,72 m     D) 1,71 m     E) 1,60 m

Problema 6 (requiere conocimiento de razones y proporciones)
Hallar la media aritmética de a;-b;-c sabiendo que: (a+2b)/5 = (c-3b)/2 = (a+c)/3 = 2
A)16      B)14      C)12      D)15      E)18

Problema 7
En el curso de Cálculo: El promedio de notas de 30 alumnos de Ing. Industrial es 15, el
promedio de 30 alumnos de Ing. Civil es 16 y el promedio de 30 alumnos de Matemáticas es 11.
Hallar el promedio aritmético de notas del total de alumnos.
A) 13     B) 12     C) 14     D) 11     E) 15

Problema 8 (requiere conocimiento básico de inecuaciones)
La edad promedio de Pía, Eva y María es 12. Hay 7 años de diferencia entre la mayor y la menor. Pía es la mayor y es la única con una edad de número par. ¿Qué edad tiene cada una si María es la menor?
A) 7; 9; 14     B) 9; 11; 16    C) 7; 11; 18    D) 5; 9; 12

Problema 9 (requiere conocimiento básico de resolución de sistema de ecuaciones lineales)
El promedio de dos  numeros es 3. Si se duplica el primer número y se quintuplica el segundo, el nuevo promedio es 9. Los números originales están en la razón:
A) 3:1      B) 3:2     C) 4:3     D) 5:2    E) 2:1

Problema 10 (requiere conocimiento básico álgebra, manejo expresiones simbólicas)
El promedio de "m" números es A y el promedio de otros "n" números es B. ¿Cuál es el promedio de todos los números?
A) (nA+mB)/(m+n)            B) (mA+nB)/(m+n)           C) (m+n)/(Am+Bn)
D) (mA+nB)/(A+B)           E) (nA+mB)/(A+B)

Problema 11 (requiere conocimiento básico de sumatorias)
La media aritmética de los "n" primeros enteros positivos es:
A) n/2        B) n²/2        C) n       D) (n-1)/2       E) (n+1)/2

Problema 12
De 500 alumnos de un colegio cuya estatura promedio es de 1,67m; 150 son mujeres. Si la estatura promedio de todas las mujeres es de 1,60m. ¿Cuál es el promedio o media aritmética de la estatura de los varones de dicho grupo?
A) 1,70 m      B) 1,64 m      C) 1,71 m      D) 1,69 m      E) 1,68 m